「以下の問いに答えよ。 (1) 0以上の整数 についての方程式 を考える。このとき以下の問いに答えよ。 (a) ある解 が存在したと仮定する。このとき、 も解となることを示せ。 (b) 全ての解を求めよ。 (2) を満たす実数 のいずれかは無理数であることを示せ。…

「 半径 の半円の重心について、以下の方針でそれぞれ求めよ。 (1) パップス・ギュルダンの定理を利用して、重心の位置を求めよ。 (2) 区分求積法を用いて、重心の位置を求めよ。」 ポイントは、 ① モーメントの計算 ② 長方形による分割 パップスギュルダン…

「 を自然数、素数とするとき、 を満たす自然数 を求めよ。」 ポイントは、 ① 因数分解 ② 素数をしぼりこむ こと。 因数分解して各項に素数のべき乗を割り振るまでは定石。まずは、 を で表してみよう。すると、 から、素数の絞り込みができるはずである。あ…

「以下の問いに答えよ。 (1) を実数とするとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を示せ。」 ポイントは、 ① ひたすら微分と増減表を利用する ② 計算ミスをしない こと。 (1)では、 に対し、1階、2階、3階と微分していく。各導関数の最小値が0であることを示せ…

「 が成立する1以上の を求めよ。」 ポイントは、変数変換につきる。右辺において、 と変数変換してみる。すると、左辺と同じ積分区間になることが分かるが、被積分部分は変数変換により生じた の違いが生じる。このままでは埒があかないので、左辺 右辺を計…

「 が自然数となる素数 を全て求めよ。 」 1964年の東京オリンピックは、ニッポンの戦後からの脱却を世に知らしめた。再びのオリンピック。日本は何を世界にアピールすることができるのだろうか。 ポイントは端的に二項定理の活用。あとは、 に対して、 が …

「 は、および を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) かつ をしめせ。 (2) の全ての解のうち、3番目に大きい解を求めよ。」 ポイントは、「三角関数を連想する」こと。具体的には、倍角の公式、3倍角の公式の形に式がなっていることが分かる…

「勝ち負けが必ず決まるあるゲームがあるとする。匿名希望のA君は、このゲームをすると、2連敗してしまった後には必ず勝ってしまうという超能力を持っている。一方、イカサマ師で有名なB君は、イカサマを使うことでゲームの勝率が と高くなっている。 すなわ…

「 平面上に放物線 と、円 がある。放物線上の動点Pを通り、円に接する2つの接線の接点をQ、Rとする。このとき、線分QRが通過する領域の面積を求めよ。 」 ポイントは、 ① 2つの円の交線は、2つの円の方程式の差で求まる ② の積分をしっかりと！ である。 か…

「 以下の問いに答えよ。 (1) のうち少なくとも2つは異なるとする。このとき、 であれば、 が成り立つことを示せ。 (2) を自然数とし、 を素数とする。 が成り立つような の組みを全て求めよ。」 ポイントは、 ① が使えるか ② 判別式を用いて整数の組みを制…

「 以下の問いに答えよ。ただし を自然数とする。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。ただし、 とする。」 ポイントは、「微分の定義(微分係数)を使えるか」に尽きる。 (1)では、 と変換した上で式を整理すると、ある関数の微分係数になることがわかる。この時…

「 関数 は を満たす。また、 の値は0より大きい有理数のみをとるとする。このような を求めよ。」 ポイントは、 ① を求めてみようと思うこと ② 因数定理 である。 問題文の式から、 について閉じた方程式を得ることができる。これは3次方程式であり、因数定…

「 3辺の長さが の三角形ABCがある。辺BC、CA、ABをそれぞれ 等分する点を とする。ここで、辺BC上に頂点Bに近い方から順に 、辺CA上に頂点Cに近い方から順に 、辺AB上に頂点Aに近い方から順に とする。また、 と の交点を とする。このとき、以下の値を求め…

「紙面上に放物線 と、その下方に定点Pが描かれている。点Pから放物線への接線を、コンパスと定規で作図せよ。ただし、 軸も描かれているとする。」 ポイントは特にないが、過去の記事がヒントとなっている。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com

「 を満たす自然数の組 を、自然数 の値によって分類せよ。」 ポイントとしては「約分して整数になることを利用する」である。 略解を示す。 与えられた式は以下のように変形できる。 ここで、等比数列の和の公式を使うと、 と表せる。つまりこれは自然数と…

「 を満たす自然数の組 を求めよ」 難問ではないが、ポイントとしては ① 因数分解 ② 偶奇性を利用し解を限定する の2つがあるだろう。 つまり、解答の流れとしては、まず表題の式を因数分解し、出てきた項A、Bの偶奇性を調べる。本問の場合、AとBの偶奇性は…

「 は無理数であることを示せ。」 難しくないのでポイントはなし。強いて言うなら、無理数の和は無理数とは限らないこと。今回はルートなので無理数であることを示すのは簡単だが、これは特殊なケースである。例えば、円周率 、ネイピア数 は無理数であるこ…

「 自然数 に対し、1を含むが を除く正の約数の和を考える。この約数の和がもとの数 に等しいとき、これを完全数と呼ぶ。2つの異なる素数を とおくとき、以下の問いに答えよ。ただし、素数は1を含まないとする。 (1) とかけるような完全数 を全て求めよ。 (2…

「紙面上に2つの円が描かれている。2つに円は交点や接点を持たず、一方が他方を包含していることもないとする。この時、2つの円の共通接線を作図する方法を述べよ」 ポイントは特になし。

「x,y軸上にそれぞれ点A、Bをとり、三角形OABが第一象限にあり(軸も含む)、周の長さが1の直角三角形となるようにA、Bを動かす。ただし角Oが直角であるとする。また、第一象限に四角形OACBが長方形となるような点Cをとる。四角形OACBは通過するが、三角形OAB…

「長方形を横に3つの長方形に等分割してできた小部屋を、左からA、B、Cとする。泥酔した宿泊客が、1分ごとに隣の小部屋に移動する、ないし現在の部屋にとどまる選択をするとする。Cの部屋ではお酒が自由に飲めるため、この客はなるべくCから出たくないという…

「4項間漸化式 の一般項を求めよ。ただし、 、 、 とする 」 考え方のポイントは、うまく3項間漸化式にすること。 特性方程式 の解は なので、特に に注目して についてまとめることができるはずである。すなわち についてはもはや3項間の漸化式になっている…

「 を自然数とする。 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 ① シグマをうまく消去すること ② の級数列で近いものはなかったか探す の2つ。 実はこの問題は、過去の2問の結果を組み合わせたものになっている。 まずポイント①。これは、前問の「平安…

「 を自然数とする。 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 碁盤状迷路を用いて示すこと。 から予想される通り、 の正方形碁盤目経路において、第一走者はブロック、第二走者は ブロックだけ進む場合に相当する。 このヒントを利用すればすぐに証…

「関数 に対し、以下の問いに答えよ。 (1) を求めよ 。 (2) を求めよ。 」 考え方のポイントは、① (1)は回転体の体積？ ② (2)ってガウス積分じゃん！！ ③ 回転体の3d関数 ④ 体積は輪切りで の4点。 ガウス積分は本来大学で習う内容である。本問題は、高校で…

「 として、 平面上にE: がある。また、 P 、Q とする。E上に動点S、Tがあるとして、以下の問いに答えよ。 (1) Sのとりかたに依らず、PS+QSが一定であることを示せ。 (2) 線分ST上にQがある正三角形PSTが存在する必要十分条件を、 を用いて表せ。」 考え方の…

「正数 は を満たす。ただし は1未満の整数とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 を求めよ。 (2) についての3次方程式 の解を とする。 を を用いて表せ。ただし、必要なものだけ用いて良い。」 考え方のポイントは、① coshの関係式をうまく3…

「以下の問いに答えよ。 (1) を1未満の正数とする。このとき、 を示せ。 (2) を求めよ。 (3) 、 なる数列に対し、 を求めよ。」 考え方のポイントは、① 挟み撃ちの原理を使えるか ② 数列の一般項を積分表示できるか の2点。 以下、解答のヒントを説明する。 …

「平面 上に、それぞれの球同士が接するように、半径1,2,3の3つの球が置かれている。また、この3つの球の上に接するように平面 を置いた。このとき以下の問いに答えよ。 (1) 平面 と3つの球との接点で作られる三角形の面積を求めよ。 (2) 平面 と のなす角を…

「三辺の長さがそれぞれ の鋭角三角形がある。この三角形を4つ貼り合わせて四面体OABCを作った。ただし、OA=BC= 、OB=CA= 、OC=AB= であるとする。この四面体の体積を として、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。ただし は、 を3辺とする三角形の…