「 なる鋭角 を弧度法で表したとき、小数第二位の数字を答えよ。」 ポイントは角の二等分線を利用すること。 を利用すると良いが、このままでは求めることができない。上記のポイントに気づけば、難しくはない。

「3次元のベクトル 、 に対し、以下の関数を定義する。 ここで、 、 とする。ただし、 の外積は で定義する。 このとき、 の最小値と、それを与える を求めよ。」 ポイントは、積和公式を使いまくること。それに気づけば難しくはない。 上記の関数は、カイラ…

「以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 となる解は2つのみ あることを示せ。 (2) となることを示せ。ここで、ネイピア数は で定義するとする。 」 ポイントは特になし。

「 は、および を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) かつ をしめせ。 (2) の全ての解のうち、3番目に大きい解を求めよ。」 ポイントは、「三角関数を連想する」こと。具体的には、倍角の公式、3倍角の公式の形に式がなっていることが分かる…

「 平面上に放物線 と、円 がある。放物線上の動点Pを通り、円に接する2つの接線の接点をQ、Rとする。このとき、線分QRが通過する領域の面積を求めよ。 」 ポイントは、 ① 2つの円の交線は、2つの円の方程式の差で求まる ② の積分をしっかりと！ である。 か…

「 を自然数とし、正 多角形を考える。この多角形をすべての対角線によって領域分割し、多角形の中心を含む領域の面積を とおく。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。」 ポイントは、「どの対角線が領域の生成に寄与するか」つきとめることである。対角線のうち…

「微分可能な について以下の問いに答えよ。 (1) とおく。このとき、 となることを示せ。 (2) を求めよ。」 考え方のポイントは、 ① 積分方程式はとりあえず微分する ② 以外の「都合の良い」関数を探す である。 解答の流れを説明する。 まずポイント①に従い…

「 を自然数とする。 は のみを用いた多項式として表すことが知られている。このとき、最高次と最低次の係数を求めよ。」 考え方のポイントは、 が の 次多項式で表せることを利用すること。 この方程式をチェビシェフの多項式と呼ぶ。 係数を予測して帰納法…

「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とする。 を求めよ。 (2) 任意の自然数に対し、 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 が単調減少であることを利用すること。 (1)はよくある有名問題。(2)では、上記のポイントから証明できる。この結果により…

「以下を示せ。 (1) (2) 」 考え方のポイントは、① サインの周期性を利用する ② 「logで三角関数ときたら、倍角の公式を連想する」 ③ 「logでシグマときたら、一つにまとめる」 こと。ちなみに(1)の解法はオイラーによるものである。 以下、略解を説明する。…

「0でないに対し、 を示せ」 考え方のポイントは、「サイン、コサイン、2のベキときたら、倍角の公式を連想すべし」である。 それが分かればあとは難しくないので、解は省略。

「鋭角三角形において、各角度を とする。このとき、 の最小値を求めよ」 以下、考え方兼略解。 考え方のポイントは、なぜ鋭角に限定するのか→相加相乗平均とか使うのか？？と考えれること。 略解を簡単に説明する。 相加相乗平均により、 をえる。ここでさ…

「 、、 とそれぞれ定義する。この時、以下の問いに答えよ。 (1) を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) を求めよ。 (4) を求めよ。」 作ってて自分でも計算だるくなってしまったと思いつつ、問題自体の着想が面白いので掲載してみる。以下、考え方兼略解。 考え方…