「半径の異なる3つの円が平面上にある。どの二つに関しても、一方が他方に内接しておらず、一方が他方の内部にあることもないとする。このとき、の共通外接線の交点Aと、の共通外接線の交点Bと、の共通外接線の交点Cは同一直線上にあることを示せ。」 一見ギ…

「三角形ABCにおいて、外心をOとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 基本は前問と同じ。まずは、外心の位置を特定しよう。外心は各辺の垂直二等分線の交点であるので、Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとすると、が成り立つ。を…

「三角形ABCにおいて、垂心をHとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 まずは、垂心の位置を特定しよう。ベクトルでやるより、初等的に三平方の定理やメネラウスの定理を使うと良い。以下、とおく。 条件式は、 と同値であり、を…

「３次元空間のベクトル がある。このとき、が一次独立であることの必要十分条件は、であることを示せ。ここで、外積は で定義する。」 前々問で述べたように、 をスカラー三重積と呼ぶ。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com の結果から、スカラー…

「四面体O-ABCにおいて、 とする。このとき、四面体O-ABCの体積が、 となることを示せ。ここで、外積は で定義する。ただし、この外積の絶対値が三角形OBCの面積の2倍に等しくなることは自明ではないものとする。」 をスカラー三重積と呼び、3つのベクトルで…

「平面 :と点P() との距離は， と表せることを示せ。」 2次元の点と直線の距離の公式を、3次元に拡張した問題。

「3次元のベクトル 、 に対し、以下の関数を定義する。 ここで、 、 とする。ただし、 の外積は で定義する。 このとき、 の最小値と、それを与える を求めよ。」 ポイントは、積和公式を使いまくること。それに気づけば難しくはない。 上記の関数は、カイラ…