難問奇問数学自作問題122-続定符号関数-

大学入試 自作問題 難問 奇問 数と式 複素数平面

「前問の関数 { \displaystyle f(x)}に対し、 { \displaystyle 0\leq f(x)f(-x)\leq f(0)^2}が成り立つことを示せ。」

 

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一個目の不等式は，前問の(2)から明らか。二個目の不等式は { \displaystyle f(0)}および { \displaystyle f(\pm x)}が登場する式なので、前問の仮定の式において、 { \displaystyle x_1=x,x_2=0}と置いたものから出発すればよいことが分かる。ただ、このままでは { \displaystyle f(x)}たちが絶対値になっていないため、仮定の式の複素数係数 { \displaystyle \alpha}を適当にとることで、絶対値が出現するように工夫する必要がある。その際のヒントは、 { \displaystyle e^{i \rm{arg} \it{A}}|A|}=Aという有名な恒等式である。