このサイトでは、著者の自作した数学の問題(大学入試レベル)を紹介します。記事内容はヒントや略解の説明にとどめています。

「壁に垂直に立てかけられた棒が，徐々に足がずれていって倒れるまでに通過する領域は，アステロイドという曲線で記述できる。これを踏まえ，前々問でアステロイド曲線が出現した理由を考察せよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com ヒントは「…

「前問で，脚立の通過する領域の面積を求めよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 積分変換，倍角の公式，などを総動員して求積しよう。

「高さ1で厚みのない脚立が両足が原点，頭がに来るように軸に立てかけられている。脚立の左足を原点に置いたまま，右足をに軸に沿ってに来るまで動かす。この時，脚立が通る領域は，軸，軸とある曲線軸に囲まれた領域となる。曲線を求めよ。」 では円周の一…

「前問の関数に対し、が成り立つことを示せ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 一個目の不等式は，前問の(2)から明らか。二個目の不等式はおよびが登場する式なので、前問の仮定の式において、と置いたものから出発すればよいことが分かる。…

「を実数とする。関数が、任意の実数と任意の複素数に対し、を満たすとする。このとき、以下を示せ。ただし、「」は複素共役を表す。 (1) (2) 」 仮定の式を満たす関数を定符号関数と呼ぶ。として、具体的な値を代入することで上記の関係式を導出しよう。(2)…

「の全ての解が、絶対値が1を超えるような実数の範囲を図示せよ。」 虚数解の場合も忘れずに議論せよ。答えは、かなり綺麗な図形になる。ちなみに、これは大学で統計や経済で習う”時系列解析”に出てくる、2次の自己回帰モデルの特性方程式に相当する。このモ…

「下図のような、各区画の長さが等しい碁盤目状の道路がある。を自然数とするとき、地点Aからスタートして地点でゴールするような最短経路は何通りあるか。を用いて表せ。 」 碁盤目上の最短経路の問題と、漸化式を融合させた問題。 地点Aからスタートして地…

「とが、異なる3点で交わっている。交点の座標を小さい順にとする。以下の問いに答えよ。 (1) の範囲を求めよ。 (2) の値をを用いずに求めよ。 (3) とによって囲まれる面積を、を用いて表せ。」 意欲のある人はいきなり(3)に取り組んでほしい。(2)は(3)の大…

「上に点A(-1,1)、B(1,1)をとる。線分AB上にある点Pを通る直線で、とその直線が囲む面積が最小になるようなものを直線とする。点Pが線分AB上を動くとき、直線の通過する領域を図示せよ。」

「AさんとBさんが、引き分けがなく勝敗が必ず決まるゲームを行う。Aさんが勝つ確率は、負ける確率はであるとする。初めてAさんが2連勝した時、このゲームを終えるとする。ちょうど回目でゲームが終了する確率を求めよ。」 のままでは確率漸化式が立てにくい…

「問題44に関して、を求めよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com の満たす漸化式を利用する。するとが示せるので、これからに関する漸化式を求めれば良い。 具体的に漸化式はとなる。

「に上向きの矢印があるとする。これをアップスピンと呼ぶことにする。以下、下向きの矢印をダウンスピンと呼ぶ。に、原点から近い順にアップスピンかダウンスピンのいずれかを配置していく。その際、左隣と同じ向きのスピンを、逆向きのスピンをの確率で配…

「ある生物は、0才になった個体は1年後に子供を1匹産み、1才になった個体は1年後に2匹産む。2才になった個体は子供を産むことなく翌年までに死滅するとする。今、ちょうど0才になった個体が1匹いてそれ以外の年齢の個体がいないとき、年後にこの個体は何匹い…

「以下の問いに答えよ。 (1) 2つのについての方程式 と、が同値となるとき、をを用いて表せ。 (2) についての方程式 を解け。」 特殊な4次方程式の解放に関する問題。(1)は(2)の誘導で、因数定理を用いれば の値が決定する。すると、を解けば良い。

「正の数 について以下の問いに答えよ。また、は1以上の自然数とする。 (1) が成り立つことを示せ。 (2) 相加平均 、調和平均 、相乗平均 を定義する。 を証明せよ。」 n個の相加相乗平均の不等式を示す問題。前回の記事の問題では、対数の関数の性質を用い…

「１辺の長さが3の正三角形ABCがあり、辺AB、BC、CAを三等分する点を左回りでD、E、F、G、H、Iのようにとる。また、正三角形ABCの重心をOとする。こうしてできた点A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jを移動する虫がいる。この虫は、点Oからスタートし、1秒ごとに…

「１辺の長さが1の正十二面体について、以下の問いに答えよ。 (ヒント：適当な8頂点からなる立方体が存在することを利用する) (1) 外接円の半径の長さを求めよ。 (2) 体積を求めよ。」

「正十二面体の各頂点を移動する怪人がいる。怪人は、頂点の一つPからスタートし、1秒ごとに隣り合う頂点に等しい確率で移動する。頂点Pからもっとも離れた頂点をQとし、スタートから秒後に頂点Pに怪盗がいる確率を、頂点Qに怪人がいる確率をとする。をで表…

「以下の問いに答えよ。 (1) 無限小数となる有理数は循環小数になることを示せ。ただし、循環小数とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。 (2) 自然数を小さい順に 個並べてできた小数を考える。例えば、となる。 (a) をを…

「サイコロを回投げた目の最大値、最小値の差をとする。の期待値をで表し、の極限を求めよ。」 問題90の追加問題で、ポイントは全く同じ。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 以下、となる確率をとおく。 各確率を求めると、 となる。よって、期…

「以下の問いに答えよ。 (1) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。 (2) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。ただし、 とする。 (3) 正の実数 に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。」 意欲のある人は(2)から、あるいは(3)から解い…

「以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 が成り立つことを示せ。 (2) 0以上の整数に対し、を求めよ。ただし、とする。 (3) を示せ。」 を近似しようという問題。(2)では部分積分を用いて漸化式を立てると良い。その結果、を得る。 (3)では、として(1)と(2)を利…

「サイコロを回投げた目の最大値、最小値の差をとする。となる確率をとおく。が成り立つような を求めよ。」 最大値と最小値の差の分布に関する問題。例えば、 の時は、「1と3が出て、4~6が出ない」確率となる。このままだと求めるのが難しいので、基本的に…

「三角形ABCにおいて、外心をOとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 基本は前問と同じ。まずは、外心の位置を特定しよう。外心は各辺の垂直二等分線の交点であるので、Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとすると、が成り立つ。を…

「三角形ABCにおいて、垂心をHとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 まずは、垂心の位置を特定しよう。ベクトルでやるより、初等的に三平方の定理やメネラウスの定理を使うと良い。以下、とおく。 条件式は、 と同値であり、を…

「以下の問いに答えよ。 (1) 実数係数からなるの多項式において、1つの解が のとき、 も解になることを示せ。ただし、 は実数で、 とする。 (2) をある実数とする。4次方程式 の解のうち2つが のとき、を求めよ。」 いわゆる実係数多項式の共役根に関する問…

「鋭角三角形ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点P、Q、Rをとる。こうしてできる三角形PQRの周の長さが最小になるとき、点P、Q、Rの位置は各辺上のどこに取れば良いか。また、周の長さの最小値を辺BC、CA、ABの長さを用いて表せ。」 あまり知られていない垂心の…

「長軸 , 短軸 の楕円上に点Pをとり、その点における法線と楕円との交点のうちPでないもの点Qとする。このとき、線分PQの最小値を求めよ。」 一見短軸そのものが自明な解だと勘違いしてしまうが、 の値によっては、そうとは限らない。計算が結構しんどい問題…

「実数が を満たしながら動くとき、の取りうる値の範囲を求めよ。」 対称式 を用いて式を整理することに尽きる。条件式 を用いることで、を のみで表すことができる。 注意点は、の値は自由に取れないということ。が実数になるためには、 に何らかの制約が生…