難問奇問数学自作問題91-近似られた(X^X)-

大学入試 自作問題 難問 奇問 積分 微分 漸化式

「以下の問いに答えよ。

(1)  { \displaystyle a \leq 0} のとき、 { \displaystyle 1+a \leq e^a \leq 1+a+a^2/2} が成り立つことを示せ。

(2) 0以上の整数 { \displaystyle n}に対し、 { \displaystyle \int_{0}^{1}x^n(log x)^n\ dx}を求めよ。ただし、 { \displaystyle 0!=1, lim_{x\to 0}x log x =0}とする。

(3) { \displaystyle 0.75 \leq \int_{0}^{1}x^x\ dx \leq 0.79} を示せ。」

 

 

{ \displaystyle \int_{0}^{1}x^x\ dx}を近似しようという問題。(2)では部分積分を用いて漸化式を立てると良い。その結果、 { \displaystyle \int_{0}^{1}x^n(log n)^n\ dx=\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}n!}を得る。

(3)では、 { \displaystyle x^x=e^{xlog x}}として(1)と(2)を利用する。