難問奇問数学自作問題87-共犯者はすぐにバレる-

大学入試 自作問題 難問 奇問 複素数平面 多項式 解と係数の関係

「以下の問いに答えよ。

(1) 実数係数からなる { \displaystyle x}の多項式において、1つの解が { \displaystyle x=\alpha+i \beta} のとき、 { \displaystyle x=\alpha-i \beta} も解になることを示せ。ただし、 { \displaystyle \alpha,\beta} は実数で、 { \displaystyle \beta \neq 0} とする。

(2) { \displaystyle a,b,\theta}をある実数とする。4次方程式 { \displaystyle x^4+ax^3+\frac{9}{8}+bx+1} の解のうち2つが { \displaystyle x=e^{i\theta},e^{i2\theta}} のとき、 { \displaystyle a,b}を求めよ。」

 

いわゆる実係数多項式の共役根に関する問題。思考停止で「共役複素数は解だ」と思いこんでる人は、係数が複素数の多項式でもこれが成り立つと勘違いするかも。(2)に関しては、適宜解と係数の関係を使って整理すると良い。