難問奇問数学自作問題77-べき乗和の公式-

大学入試 自作問題 難問 奇問 組み合わせ 二項定理 帰納法

「 { \displaystyle n,k} を自然数として、 { \displaystyle s_k=1^k+2^k+...n^k} を定義する。 このとき、 { \displaystyle s_k} は { \displaystyle n} についての多項式になるが、最高次の次数とその係数を求めよ。」

 

解き方は色々ありそうだが、例えば二項定理＆帰納法による方法。まず、 { \displaystyle s_k=\sum_{l=1}^{n}l^k} において、 { \displaystyle l\to l+1} としてみよう。すると、 { \displaystyle \sum_{l=1}^{n}(l+1)^k=\sum_{l=2}^{n+1}l^k=s_k+(n+1)^k-1} と表せる。

さらに、左辺は二項定理を用いると { \displaystyle \sum_{l=1}^{n}(l+1)^k=\sum_{l=1}^{n} \sum_{m=0}^{k} {}_k C _m l^m=\sum_{m=0}^{k}{}_k C _m \sum_{l=1}^{n}l^m=\sum_{m=0}^{k}{}_k C _m s_m}  を得る。

すなわち、恒等式

{ \displaystyle \sum_{m=0}^{k}{}_k C _m s_m=s_k+(n+1)^k-1} 

を得るが、両辺の { \displaystyle s_k} を引けば、

{ \displaystyle \sum_{m=0}^{k-1}{}_k C _m s_m=(n+1)^k-1}  

を得るので、左辺は { \displaystyle n} についての { \displaystyle k}次多項式になることがわかる。

以上の結果と、 { \displaystyle k} に関する帰納法を用いれば、題意の式が示される。  

 

別解はいくらでもある。区分求積を使って次数と係数を求めることもできる。詳しくは、下記記事を参照。

suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com