「人の中から、1人以上人を選ぶ場合を考える。このとき、選んだ人数が奇数となる場合の数と、偶数となる場合の数の大小を比較せよ。」 二項定理 および を利用すると良い。結果として、必ず奇数人選ぶ場合の数が多くなる。

「 を自然数として、 を定義する。 このとき、 は についての多項式になるが、最高次の次数とその係数を求めよ。」 解き方は色々ありそうだが、例えば二項定理＆帰納法による方法。まず、 において、 としてみよう。すると、 と表せる。 さらに、左辺は二項…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となることを示せ。 (3) を求めよ。」 ポイントは前問同様ひたす…

「 の桁数と、1の位の数を求めよ。ただし、 を用いても良い。」(東大前期1989) 以下、考え方兼略解。 考え方のポイントは、①合同式による解法、②二項展開を利用できるかの2つ。 では、略解を記載する。まずは、桁数を求めよう。 より を得る。よって、200桁…

「極限 を求めよ。」 (京大理系後期2003) 以下、考え方兼略解。 考え方のポイントは、①極限なので、 についての最高次を考えれば良い②式の形から区分求積法を連想できるかの2つ。 では、略解を記載する。まずは、式変形。\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}(…