難問奇問数学自作問題123-めざせ180度開脚-

大学入試 自作問題 難問 奇問 平面図形の性質 領域 軌跡 微分

「高さ1で厚みのない脚立が両足が原点，頭が { \displaystyle (0,1)}に来るように { \displaystyle y}軸に立てかけられている。脚立の左足を原点に置いたまま，右足を { \displaystyle x}に軸に沿って { \displaystyle (2,0)}に来るまで動かす。この時，脚立が通る領域は， { \displaystyle x}軸， { \displaystyle y}軸とある曲線 { \displaystyle f(x)}軸に囲まれた領域となる。曲線 { \displaystyle f(x)}を求めよ。」

  

{ \displaystyle 0\leq x\lt \frac{2}{\sqrt 2}}では円周の一部になることは明らかだろう。解き方のポイントは領域を { \displaystyle x=t(2/\sqrt{2} \leq t \lt2)}で切断した時の，切断線の高さを求めることである。いろいろな脚立の左脚の傾き { \displaystyle \theta}に対する切断線と右脚の交点を求め，そのy座標が最も高くなるような傾きを求めよう。