「壁に垂直に立てかけられた棒が，徐々に足がずれていって倒れるまでに通過する領域は，アステロイドという曲線で記述できる。これを踏まえ，前々問でアステロイド曲線が出現した理由を考察せよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com ヒントは「…

「前問で，脚立の通過する領域の面積を求めよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 積分変換，倍角の公式，などを総動員して求積しよう。

「空間に高さ1、半径1の円柱があり、下底円の中心を(0,0,0)、上底円の中心を(0,0,1)とする。今の放物線の形をしたカッターが、軸に沿ってからに動く。このとき、カッターで切り取られる円柱の立体のうち原点を含む方の体積を求めよ。」 難しくないので解説は…

「空間に高さ、底円の半径の直円柱と斜円柱がある。ここでの上底円、下底円は(0,0,1)、(0,0,0)を中心として平面に平行であり、の上底円、下底円は(2,0,1)、(0,0,0)を中心として平面に平行であるとする。このとき、との共通部分の体積を求めよ。」 軸に対して…

「ネイピア数(自然対数の底)がとなることを示せ。」 示す方法は山のようにある。ノーヒント。

「以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 が成り立つことを示せ。 (2) 0以上の整数に対し、を求めよ。ただし、とする。 (3) を示せ。」 を近似しようという問題。(2)では部分積分を用いて漸化式を立てると良い。その結果、を得る。 (3)では、として(1)と(2)を利…

「以下の問いに答えよ。 (1) 平面に半径1、中心を原点Oとする円がある。円周上の動点Pを中心にもつ1辺が1の正方形ABCDを、ABとCDが軸に平行、BCとDAが軸と平行になるように作る。動点Pを動かすとき、正方形ABCDの通過する領域の面積を求めよ。 (2) 空間に半…

「前問において、円錐Vの中身が詰まっていないとする。すなわち、厚みのない円錐Vを考え、それに対する回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、前問では最大半径のみを考えたが、今回は最小半径も考える必要があること。つまり、最小半径を回してできる立体を…

「3次元 空間において、半径 の底円を 平面上に持ち、頂点を とする、中身の詰まった直円錐Vがある。Vを 軸に関して1周させてできる回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、回転体の体積を求めるには回転軸からもっとも離れた点を考えれば良いことである。Vを…

「自然数 に対し、 を求めよ。」 ポイントは如何にして漸化式を求めるか。 は、sinが無ければ「ガンマ関数」と呼ばれるものになり、積分すると になる。一方で今回の関数はややこしい。 とおいて、漸化式をたてて求めるのが良いだろう。その際、 として漸化…

「 とするとき、 を求めよ。ただし、 は既知として良い。」 ポイントは特になし。 統計数理では、を指数分布と呼ぶ。正規分布などと同じ確率分布関数の一種である。平均(=期待値)は であり、 その周りのベキ乗の積分である を、 次のモーメントと呼ぶ。特に…

「以下の問いに答えよ(意欲のある人は(1)を見ずに)。 (1) 0以上の1以下の実数 に対し、 が成立することを示せ。 (2) 自然数 に対し、関数 を定義する。このとき、 を求めよ。」 ポイントは、挟み撃ちの原理と区分求積法。 基本的には、(1)の結果を用いて挟み…

「 平面上に放物線 と、円 がある。放物線上の動点Pを通り、円に接する2つの接線の接点をQ、Rとする。このとき、線分QRが通過する領域の面積を求めよ。 」 ポイントは、 ① 2つの円の交線は、2つの円の方程式の差で求まる ② の積分をしっかりと！ である。 か…

「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とする。 を求めよ。 (2) 任意の自然数に対し、 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 が単調減少であることを利用すること。 (1)はよくある有名問題。(2)では、上記のポイントから証明できる。この結果により…

「一辺の長さが1の正三角形ABCに対し、頂点Aを中心とする弧BC、頂点Bを中心とする弧CA、頂点Cを中心とする弧ABを描く。これらの弧によって囲まれた図形を、直線 の上に置き転がすことを考える。最初の時点では、直線 に垂直に頂点A、Bがあり、Bが に接してい…

「関数 に対し、以下の問いに答えよ。 (1) を求めよ 。 (2) を求めよ。 」 考え方のポイントは、① (1)は回転体の体積？ ② (2)ってガウス積分じゃん！！ ③ 回転体の3d関数 ④ 体積は輪切りで の4点。 ガウス積分は本来大学で習う内容である。本問題は、高校で…

「以下の問いに答えよ。 (1) を1未満の正数とする。このとき、 を示せ。 (2) を求めよ。 (3) 、 なる数列に対し、 を求めよ。」 考え方のポイントは、① 挟み撃ちの原理を使えるか ② 数列の一般項を積分表示できるか の2点。 以下、解答のヒントを説明する。 …

「周の長さが の三角形の面積の最大値を求めよ。」 考え方のポイントは、① ヘロンの公式 ② 相加相乗平均 の二つ。各辺を としてヘロンの公式 で面積を表し、相加相乗平均で最大値を求めればよく、そんなに難しくはない。 面積が最大となるのは正三角形の時で…

「以下を示せ。 (1) (2) 」 考え方のポイントは、① サインの周期性を利用する ② 「logで三角関数ときたら、倍角の公式を連想する」 ③ 「logでシグマときたら、一つにまとめる」 こと。ちなみに(1)の解法はオイラーによるものである。 以下、略解を説明する。…

「 、、 とそれぞれ定義する。この時、以下の問いに答えよ。 (1) を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) を求めよ。 (4) を求めよ。」 作ってて自分でも計算だるくなってしまったと思いつつ、問題自体の着想が面白いので掲載してみる。以下、考え方兼略解。 考え方…