難問奇問数学自作問題112-円柱と斜円柱の共通部分の体積-

大学入試 自作問題 奇問 空間図形 積分

「 { \displaystyle xyz}空間に高さ { \displaystyle 1}、底円の半径 { \displaystyle 1}の直円柱 { \displaystyle C_1}と斜円柱 { \displaystyle C_2}がある。ここで { \displaystyle C_1}の上底円、下底円は(0,0,1)、(0,0,0)を中心として { \displaystyle xy}平面に平行であり、 { \displaystyle C_2}の上底円、下底円は(2,0,1)、(0,0,0)を中心として { \displaystyle xy}平面に平行であるとする。このとき、 { \displaystyle C_1}と { \displaystyle C_2}の共通部分の体積を求めよ。」

 

  

{ \displaystyle z}軸に対して平行な面で切ったときの断面図を考えれば良い。それを積分すると、 { \displaystyle 4/3}を得る。以外にも、体積には円周率が出てこないのである！