「高さ1で厚みのない脚立が両足が原点，頭がに来るように軸に立てかけられている。脚立の左足を原点に置いたまま，右足をに軸に沿ってに来るまで動かす。この時，脚立が通る領域は，軸，軸とある曲線軸に囲まれた領域となる。曲線を求めよ。」 では円周の一…

「1辺が1の正方形ABCDがある。辺AB上の点Pと辺CD上の点Qを結んだ直線PQを折り目として、頂点Bが辺AD上にくるように折り返す。頂点B、Cの折り返し後の点を点B'、C'とする。また、辺B'C'とQDとが交わる点をRとする。三角形QC'Rの面積が最大となるときのBPの長…

「正の数 について以下の問いに答えよ。また、は1以上の自然数とする。 (1) が成り立つことを示せ。 (2) 相加平均 、調和平均 、相乗平均 を定義する。 を証明せよ。」 n個の相加相乗平均の不等式を示す問題。前回の記事の問題では、対数の関数の性質を用い…

「ネイピア数(自然対数の底)がとなることを示せ。」 示す方法は山のようにある。ノーヒント。

「以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 が成り立つことを示せ。 (2) 0以上の整数に対し、を求めよ。ただし、とする。 (3) を示せ。」 を近似しようという問題。(2)では部分積分を用いて漸化式を立てると良い。その結果、を得る。 (3)では、として(1)と(2)を利…

「長軸 , 短軸 の楕円上に点Pをとり、その点における法線と楕円との交点のうちPでないもの点Qとする。このとき、線分PQの最小値を求めよ。」 一見短軸そのものが自明な解だと勘違いしてしまうが、 の値によっては、そうとは限らない。計算が結構しんどい問題…

「実数が を満たしながら動くとき、の取りうる値の範囲を求めよ。」 対称式 を用いて式を整理することに尽きる。条件式 を用いることで、を のみで表すことができる。 注意点は、の値は自由に取れないということ。が実数になるためには、 に何らかの制約が生…

「以下の問いに答えよ。 (1) において、 のグラフの概形を書け。 (2) 個の正の実数 に対し、相加平均 、調和平均 、相乗平均 を定義する。 を証明せよ。」 意欲的な人は、いきなり(2)に取り組んでほしい。 (1)より、常に (等号成立は のとき)が成り立つこと…

「 個の正の実数 がある。これらの平均としては、相加平均 や、調和平均 、相乗平均 などがある。これらの平均を一般化したものとして、一般化平均 が知られている。確かに、 において とすれば相加平均及び調和平均に一致することがわかる。一方、 が相乗平…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。 (2) を求めよ。」 ポイントはひたすら帰納法。かなり複雑だが、辛抱強く帰納法を使用すれば証明できる。 この多項式はルジャンドル多項式と呼ばれるもので、ク…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。また、 と異なる偶奇の次元の項が含まれないを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となること…

「以下の問いに答えよ。 (1) を実数とするとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を示せ。」 ポイントは、 ① ひたすら微分と増減表を利用する ② 計算ミスをしない こと。 (1)では、 に対し、1階、2階、3階と微分していく。各導関数の最小値が0であることを示せ…

「 が成立する1以上の を求めよ。」 ポイントは、変数変換につきる。右辺において、 と変数変換してみる。すると、左辺と同じ積分区間になることが分かるが、被積分部分は変数変換により生じた の違いが生じる。このままでは埒があかないので、左辺 右辺を計…

「 を自然数とする。以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を求めよ。」 (1)の級数は、いわゆるテイラー展開に関するものである。(1)は帰納法でやるのが普通か。(2)では挟み撃ちの原理を使う。

「 自然数 に対し、1を含むが を除く正の約数の和を考える。この約数の和がもとの数 に等しいとき、これを完全数と呼ぶ。2つの異なる素数を とおくとき、以下の問いに答えよ。ただし、素数は1を含まないとする。 (1) とかけるような完全数 を全て求めよ。 (2…

「 を示せ。」 考え方のポイントは、 と の大小比較に関する問題か？ と考えられること。 解の方針としては、 が で単調増加であることを利用すれば良い。

「半径1の球に内接する円錐を考え、円錐の表面積が最大になる時の高さを求めよ」 考え方のポイントは、① どこを とおくか ② 因数定理で解を見つける の2点。 最初の方針は難しくないが、増減表を描くのに一工夫必要。結果からいうと、円錐の高さを とおくと…

「平面上の2点 に対して、 及び を定義する。 いま、点A(1,0)と、 の円周上の動点Pがある。この時、以下の最大値を求めよ。 (1) (2) 」 以下、考え方兼ヒント。 考え方のポイントは、① 三角関数を使うのが良さそう② (2)は通常の距離 とマンハッタン距離 のハ…