難問奇問数学自作問題31-完全数って名前カッコよくない？-

大学入試 自作問題 難問 奇問 整数 微分

「 自然数 { \displaystyle n} に対し、1を含むが  { \displaystyle n} を除く正の約数の和を考える。この約数の和がもとの数  { \displaystyle n} に等しいとき、これを完全数と呼ぶ。2つの異なる素数を { \displaystyle p,q} とおくとき、以下の問いに答えよ。ただし、素数は1を含まないとする。

(1) { \displaystyle n=pq} とかけるような完全数  { \displaystyle n} を全て求めよ。 

(2)  { \displaystyle n=p^2q} とかけるような完全数  { \displaystyle n} を全て求めよ。」

 

 

ポイントは

① 常に因数分解可能か否か考える

② 困ったら、微積の知識を使う

である。

(1)は約数の和と  { \displaystyle n=pq} の関係式を出し、因数分解で式を整理すれば、 { \displaystyle p,q} に対する制約が簡単に現れる。

(2)は少し難しい。(1)のように綺麗な因数分解はできない。こういうときは、ポイント②を使う。得られた関係式から { \displaystyle q} を { \displaystyle p} の関数で表してみよう。  例えば、この関数の最大値がわかれば、 { \displaystyle q} の上限が判明することになる。

　このように、整数問題は様々な知識を利用するため、難易度が高い問題が多い傾向がある。といっても、大学入試の範囲内ではたかが知れている。