難問奇問数学自作問題51-ソースは素数-

大学入試 自作問題 奇問 難問 整数

「  { \displaystyle \alpha,p} を自然数、素数とするとき、  { \displaystyle x^4+x^2y^2+y^4=p^{\alpha}} を満たす自然数  { \displaystyle x,y} を求めよ。」

 

ポイントは、

① 因数分解

② 素数をしぼりこむ

こと。

 

因数分解して各項に素数のべき乗を割り振るまでは定石。まずは、 { \displaystyle xy} を { \displaystyle p} で表してみよう。すると、 { \displaystyle (x-y)^2 \geq 0} から、素数の絞り込みができるはずである。あとは、   { \displaystyle \alpha} の値によって分類し、答えの候補を探していくことになる。