「下図のような、各区画の長さが等しい碁盤目状の道路がある。を自然数とするとき、地点Aからスタートして地点でゴールするような最短経路は何通りあるか。を用いて表せ。 」 碁盤目上の最短経路の問題と、漸化式を融合させた問題。 地点Aからスタートして地…

「サイコロを4回ふり、出た目を順にとする。この値を座標にとった点A()と点B()に対し、3点O()、A()、B()を頂点とする三角形が存在する確率を求めよ。」 ノーヒント。難問ではないが思いついたので書いておく。

「 を自然数として、 を定義する。 このとき、 は についての多項式になるが、最高次の次数とその係数を求めよ。」 解き方は色々ありそうだが、例えば二項定理＆帰納法による方法。まず、 において、 としてみよう。すると、 と表せる。 さらに、左辺は二項…

「 1つのサイコロを 回振り、出た順に数字を小数点以下に並べて実数を作る。例えば、1回目に4、2回目に3が出た場合、0.43となる。こうしてできる小数が、 以下となる確率を と表す。を を用いて表し、 を求めよ。」 考え方のポイントとしては、 が循環小数に…

「 を自然数とする。この時、以下の等式を示せ。 」 ノーヒント。

「 平面において、1sごとに上下左右いずれかにそれぞれ等しい確率で1だけ移動する人間がいる。sでこの人は原点にいるとするとき、s後に原点にいる確率を求めよ。」 ポイントは、右に行く回数と上に行く回数を変数でおき、その拘束条件を考えること。定石とし…

「 を自然数とする。 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 ① シグマをうまく消去すること ② の級数列で近いものはなかったか探す の2つ。 実はこの問題は、過去の2問の結果を組み合わせたものになっている。 まずポイント①。これは、前問の「平安…

「 を自然数とする。 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 碁盤状迷路を用いて示すこと。 から予想される通り、 の正方形碁盤目経路において、第一走者はブロック、第二走者は ブロックだけ進む場合に相当する。 このヒントを利用すればすぐに証…