「 関数 は正の整数 に対して定義され、正の整数値とる関数で以下の性質を満たす。このような を求めよ。 ① ② であれば、 ③ 」 ポイントは、帰納法を使うこと。まずは関数の予測だ。帰納法では偶奇による場合分けをすると見通しが良くなるかもしれない。

「自然数 は を満たす。このとき、実数の組み があって、以下の各量で定義する。 、、、、、 とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) を を用いて表せ。 (2) を を用いて表せ。 (3) を を用いて表せ。」 ポイントはとくになし。 をそれぞれ統計学で「平均、分…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。 (2) を求めよ。」 ポイントはひたすら帰納法。かなり複雑だが、辛抱強く帰納法を使用すれば証明できる。 この多項式はルジャンドル多項式と呼ばれるもので、ク…

「幅1cmの、厚みのない長い紙がある。これを一重結びしたとき、結び目で正五角形ができることを示せ。また、その面積を求めよ。」 ポイントは特になし。是非他の結び方もできるように！

「正五角形をコンパスと定規で作図せよ」 ポイントは特徴的な長さを代数的に求め、それを作図すること。 かっこいい作図もできるが、ここでは泥臭いが実践的な方法で作図しよう。正五角形ABCDEとし、まず辺CDを適当な長さにとって引く。頂点Bの位置を特定す…

「自然数 に対し、 を求めよ。」 ポイントは如何にして漸化式を求めるか。 は、sinが無ければ「ガンマ関数」と呼ばれるものになり、積分すると になる。一方で今回の関数はややこしい。 とおいて、漸化式をたてて求めるのが良いだろう。その際、 として漸化…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となることを示せ。 (3) を求めよ。」 ポイントは前問同様ひたす…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。また、 と異なる偶奇の次元の項が含まれないを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となること…