「高さ1で厚みのない脚立が両足が原点，頭が $(0,1)$ に来るように $y$ 軸に立てかけられている。脚立の左足を原点に置いたまま，右足を $x$ に軸に沿って $(2,0)$ に来るまで動かす。この時，脚立が通る領域は， $x$ 軸， $y$ 軸とある曲線 $f(x)$ 軸に囲まれた領域となる。曲線 $f(x)$ を求めよ。」

$0\leq x\lt \frac{2}{\sqrt 2}$ では円周の一部になることは明らかだろう。解き方のポイントは領域を $x=t(2/\sqrt{2} \leq t \lt2)$ で切断した時の，切断線の高さを求めることである。いろいろな脚立の左脚の傾き $\theta$ に対する切断線と右脚の交点を求め，そのy座標が最も高くなるような傾きを求めよう。

2019-07-19

難問奇問数学自作問題122-続定符号関数-

大学入試自作問題難問奇問数と式複素数平面

「前問の関数 $f(x)$ に対し、 $0\leq f(x)f(-x)\leq f(0)^2$ が成り立つことを示せ。」

suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com

一個目の不等式は，前問の(2)から明らか。二個目の不等式は $f(0)$ および $f(\pm x)$ が登場する式なので、前問の仮定の式において、 $x_1=x,x_2=0$ と置いたものから出発すればよいことが分かる。ただ、このままでは $f(x)$ たちが絶対値になっていないため、仮定の式の複素数係数 $\alpha$ を適当にとることで、絶対値が出現するように工夫する必要がある。その際のヒントは、 ${ \displaystyle e^{i \rm{arg} \it{A}}|A|}=A$ という有名な恒等式である。

2019-07-16

難問奇問数学自作問題121-定符号関数-

大学入試自作問題難問奇問数と式複素数平面

「 $x$ を実数とする。関数 $f(x)$ が、任意の実数 $x_1,x_2$ と任意の複素数 $\alpha_1,\alpha_2$ に対し、 $\sum_{i=1,j=1}^{2} \alpha_i \alpha_j^* f(x_i-x_j)\geq 0$ を満たすとする。このとき、以下を示せ。ただし、「 $^*$ 」は複素共役を表す。

(1) $f(0)\geq 0$

(2) $f(-x)=f(x)^*$

」

仮定の式を満たす関数を定符号関数と呼ぶ。 $x_1,x_2,\alpha_1,\alpha_2$ として、具体的な値を代入することで上記の関係式を導出しよう。(2)のヒントは、まず $f(x)+f(-x)$ が実数になることを示すことである。複素共役であることを示すには、これ以外にもう一つ確認しなければならないことがあるはずだが...