「以下の問いに答えよ。 (1) 実数係数からなるの多項式において、1つの解が のとき、 も解になることを示せ。ただし、 は実数で、 とする。 (2) をある実数とする。4次方程式 の解のうち2つが のとき、を求めよ。」 いわゆる実係数多項式の共役根に関する問…

「 は、および を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) かつ をしめせ。 (2) の全ての解のうち、3番目に大きい解を求めよ。」 ポイントは、「三角関数を連想する」こと。具体的には、倍角の公式、3倍角の公式の形に式がなっていることが分かる…

「微分可能な について以下の問いに答えよ。 (1) とおく。このとき、 となることを示せ。 (2) を求めよ。」 考え方のポイントは、 ① 積分方程式はとりあえず微分する ② 以外の「都合の良い」関数を探す である。 解答の流れを説明する。 まずポイント①に従い…

「 を自然数とする。 は のみを用いた多項式として表すことが知られている。このとき、最高次と最低次の係数を求めよ。」 考え方のポイントは、 が の 次多項式で表せることを利用すること。 この方程式をチェビシェフの多項式と呼ぶ。 係数を予測して帰納法…

「正数 は を満たす。ただし は1未満の整数とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 を求めよ。 (2) についての3次方程式 の解を とする。 を を用いて表せ。ただし、必要なものだけ用いて良い。」 考え方のポイントは、① coshの関係式をうまく3…