「前問において、時刻 において 、 の障壁よりも右側に存在する粒子たちの重心の位置を とする。ここで は自然数とした。 を を用いて表し、 を求めよ。」 ポイントは、粒子がどこにどれだけいるか、しっかり抑えること。右側だけに限った場合、一番先行して…

「軸上の に厚みのない障壁がある。 の障壁に、大きさのない個の粒子が軸の負の方向から正の方向に向かって同時に入射する。粒子同士はぶつかり合ったりせず、入射する前の速さはで等しいとする。各粒子は障壁に対して の確率で反射し、 の確率で透過する()…

「 個の正の実数 がある。これらの平均としては、相加平均 や、調和平均 、相乗平均 などがある。これらの平均を一般化したものとして、一般化平均 が知られている。確かに、 において とすれば相加平均及び調和平均に一致することがわかる。一方、 が相乗平…

「以下の問いに答えよ(意欲のある人は(1)を見ずに)。 (1) 0以上の1以下の実数 に対し、 が成立することを示せ。 (2) 自然数 に対し、関数 を定義する。このとき、 を求めよ。」 ポイントは、挟み撃ちの原理と区分求積法。 基本的には、(1)の結果を用いて挟み…

「以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 となる解は2つのみ あることを示せ。 (2) となることを示せ。ここで、ネイピア数は で定義するとする。 」 ポイントは特になし。

「 を自然数とし、正 多角形を考える。この多角形をすべての対角線によって領域分割し、多角形の中心を含む領域の面積を とおく。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。」 ポイントは、「どの対角線が領域の生成に寄与するか」つきとめることである。対角線のうち…

「 以下の問いに答えよ。ただし を自然数とする。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。ただし、 とする。」 ポイントは、「微分の定義(微分係数)を使えるか」に尽きる。 (1)では、 と変換した上で式を整理すると、ある関数の微分係数になることがわかる。この時…

「 上に動点Pをとり、中心をPとして 軸に接する円Cを作る。このとき、 軸との接点をHとする。以下の問いに答えよ。 (1) 円Cの通過する領域を求めよ。 (2) 円Cが常に接する円Dが存在し、この中心をAとする。 APHを とおく。特に、点Pの 座標が自然数 となる時…

「微分可能な について以下の問いに答えよ。 (1) とおく。このとき、 となることを示せ。 (2) を求めよ。」 考え方のポイントは、 ① 積分方程式はとりあえず微分する ② 以外の「都合の良い」関数を探す である。 解答の流れを説明する。 まずポイント①に従い…

「 を自然数とする。 は のみを用いた多項式として表すことが知られている。このとき、最高次と最低次の係数を求めよ。」 考え方のポイントは、 が の 次多項式で表せることを利用すること。 この方程式をチェビシェフの多項式と呼ぶ。 係数を予測して帰納法…

「 を自然数とする。 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 ① シグマをうまく消去すること ② の級数列で近いものはなかったか探す の2つ。 実はこの問題は、過去の2問の結果を組み合わせたものになっている。 まずポイント①。これは、前問の「平安…

「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とする。 を求めよ。 (2) 任意の自然数に対し、 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 が単調減少であることを利用すること。 (1)はよくある有名問題。(2)では、上記のポイントから証明できる。この結果により…

「以下の問いに答えよ。 (1) を1未満の正数とする。このとき、 を示せ。 (2) を求めよ。 (3) 、 なる数列に対し、 を求めよ。」 考え方のポイントは、① 挟み撃ちの原理を使えるか ② 数列の一般項を積分表示できるか の2点。 以下、解答のヒントを説明する。 …

「以下を示せ。 (1) (2) 」 考え方のポイントは、① サインの周期性を利用する ② 「logで三角関数ときたら、倍角の公式を連想する」 ③ 「logでシグマときたら、一つにまとめる」 こと。ちなみに(1)の解法はオイラーによるものである。 以下、略解を説明する。…

「0でないに対し、 を示せ」 考え方のポイントは、「サイン、コサイン、2のベキときたら、倍角の公式を連想すべし」である。 それが分かればあとは難しくないので、解は省略。

「極限 を求めよ。」 (京大理系後期2003) 以下、考え方兼略解。 考え方のポイントは、①極限なので、 についての最高次を考えれば良い②式の形から区分求積法を連想できるかの2つ。 では、略解を記載する。まずは、式変形。\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}(…