難問奇問数学自作問題12-積分を使って数列の和を求める-

大学入試 自作問題 難問 奇問 数列 積分 極限

「以下の問いに答えよ。

(1) { \displaystyle\epsilon} を1未満の正数とする。このとき、 { \displaystyle \left| \sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{\epsilon}x(x-1)^kdx \right|\leq \frac{\epsilon^2}{2}} を示せ。

(2) { \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x(x-1)^kdx }  を求めよ。

(3)  { \displaystyle a_0=\frac{1}{2}}、 { \displaystyle a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}a_n} なる数列に対し、 { \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^n a_n} を求めよ。」

 

考え方のポイントは、
① 挟み撃ちの原理を使えるか

② 数列の一般項を積分表示できるか

の2点。

 

以下、解答のヒントを説明する。

 

　(1)は少し難しいが、被積分部分の最大を考えることで処理できる。 { \displaystyle \left| \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \right| \leq 1} は知っておくと便利。

　(2)は、積分範囲を(1)のそれとそれ以外に分割し、上限下限で抑えると良い。あとは挟み撃ちの原理。

    (3)は、数列の一般項が、「ある定積分」と等しくなることを用いる。