難問奇問数学自作問題60-ガンマ関数の従兄弟を積分する-

大学入試 自作問題 奇問 難問 漸化式 積分

「自然数 { \displaystyle n} に対し、 { \displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{n-1}sin(\sqrt{3}x)e^{-x}dx} を求めよ。」

 

ポイントは如何にして漸化式を求めるか。

 

 

{ \displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{n-1}sin(\sqrt{3}x)e^{-x}dx} は、sinが無ければ「ガンマ関数」と呼ばれるものになり、積分すると { \displaystyle (n-1)!} になる。一方で今回の関数はややこしい。  { \displaystyle a_n=\int_{0}^{\infty}x^{n-1}sin(\sqrt{3}x)e^{-x}dx} とおいて、漸化式をたてて求めるのが良いだろう。その際、 { \displaystyle b_n=\int_{0}^{\infty}x^{n-1}cos(\sqrt{3}x)e^{-x}dx} として漸化式を2つ用意すると簡潔になる。これらから、 { \displaystyle b_n} を消去して  { \displaystyle a_n} についての漸化式を求めれば良い。

　得られた漸化式は3項間の漸化式になる。 { \displaystyle a_0,a_1} は解析的に容易に導出できるので、一般項を求めることができる。特性方程式の解は虚数になるので、ド・モアブルの定理により式を簡潔にまとめると良い。 

　ちなみにガンマ関数は階乗を、自然数に対してだけではなく、任意の実数に拡張したものである。すなわち、 { \displaystyle \frac{1}{2}!} のような数を求めることができる。興味のある人は、 { \displaystyle \frac{1}{2}!} の値がいくらになるか考えてみよう。