難問奇問数学自作問題99-怪人十二面体-

大学入試 自作問題 難問 奇問 確率 漸化式

「正十二面体の各頂点を移動する怪人がいる。怪人は、頂点の一つPからスタートし、1秒ごとに隣り合う頂点に等しい確率で移動する。頂点Pからもっとも離れた頂点をQとし、スタートから { \displaystyle n}秒後に頂点Pに怪盗がいる確率を { \displaystyle P_n}、頂点Qに怪人がいる確率を { \displaystyle Q_n}とする。 { \displaystyle P_n-Q_n}を { \displaystyle n}で表せ。」

 

 

確率漸化式の問題。頂点Pからの最短距離で各頂点を分類して漸化式を作ると良い。最短距離が1辺の3点のいずれか、最短距離が2辺の6点のいずれか、最短距離が3辺の6点のいずれか、最短距離が4辺の3点のいずれか、にいる確率をそれぞれ { \displaystyle R_n,S_n,T_n,U_n}とする。すると以下の漸化式を得る。

        { \displaystyle P_n=\frac{1}{3}R_n}

        { \displaystyle R_n=P_n+\frac{1}{3}S_n}

        { \displaystyle S_n=\frac{2}{3}R_n+\frac{1}{3}S_n+\frac{1}{3}T_n}

        { \displaystyle T_n=\frac{1}{3}S_n+\frac{1}{3}T_n+\frac{2}{3}U_n}

        { \displaystyle U_n=P_n+\frac{1}{3}T_n}

        { \displaystyle Q_n=\frac{1}{3}U_n}

あとは、 { \displaystyle A_n=P_n-Q_n}に対する漸化式を上式から導けば良い。

解としては、 { \displaystyle A_{n+2}=\frac{5}{9}A_n}を得る。

 

参考までに、 { \displaystyle B_n=P_n+Q_n}に対する漸化式は、 { \displaystyle 9B_{n+3}-6B_{n+2}-5B_{n+1}+2B_n=0}となる。