「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とし、 として により数列を定義する。このとき、 が成り立つことを示せ。また、 が方程式 の解となるとき、 もその式の自然数解になることを示せ。 (2) を自然数とするとき、方程式の自然数解を2つ求めよ。」 ペル方程…

「 を自然数として、 を定義する。 このとき、 は についての多項式になるが、最高次の次数とその係数を求めよ。」 解き方は色々ありそうだが、例えば二項定理＆帰納法による方法。まず、 において、 としてみよう。すると、 と表せる。 さらに、左辺は二項…

「 関数 は正の整数 に対して定義され、正の整数値とる関数で以下の性質を満たす。このような を求めよ。 ① ② であれば、 ③ 」 ポイントは、帰納法を使うこと。まずは関数の予測だ。帰納法では偶奇による場合分けをすると見通しが良くなるかもしれない。

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。 (2) を求めよ。」 ポイントはひたすら帰納法。かなり複雑だが、辛抱強く帰納法を使用すれば証明できる。 この多項式はルジャンドル多項式と呼ばれるもので、ク…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となることを示せ。 (3) を求めよ。」 ポイントは前問同様ひたす…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。また、 と異なる偶奇の次元の項が含まれないを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となること…

「 を自然数とする。以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を求めよ。」 (1)の級数は、いわゆるテイラー展開に関するものである。(1)は帰納法でやるのが普通か。(2)では挟み撃ちの原理を使う。

「4項間漸化式 の一般項を求めよ。ただし、 、 、 とする 」 考え方のポイントは、うまく3項間漸化式にすること。 特性方程式 の解は なので、特に に注目して についてまとめることができるはずである。すなわち についてはもはや3項間の漸化式になっている…

「微分可能な について以下の問いに答えよ。 (1) とおく。このとき、 となることを示せ。 (2) を求めよ。」 考え方のポイントは、 ① 積分方程式はとりあえず微分する ② 以外の「都合の良い」関数を探す である。 解答の流れを説明する。 まずポイント①に従い…

「 を自然数とする。 は のみを用いた多項式として表すことが知られている。このとき、最高次と最低次の係数を求めよ。」 考え方のポイントは、 が の 次多項式で表せることを利用すること。 この方程式をチェビシェフの多項式と呼ぶ。 係数を予測して帰納法…

「 を正の数とし, を満たすとする。このとき、不等式 を求めよ。」(東工大前期1990) この問題は、後述するように”エントロピー”に対する不等式に関する問題である。以下、考え方兼略解。 考え方のポイントは、①凸関数の構造に気付けるか②帰納法を選択できる…