難問奇問数学自作問題25-4項間漸化式-

大学入試 自作問題 奇問 帰納法 漸化式

「4項間漸化式 { \displaystyle a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_n} の一般項を求めよ。ただし、 { \displaystyle a_1=0} 、 { \displaystyle a_2=1} 、 { \displaystyle a_2=2} とする 」

 

考え方のポイントは、うまく3項間漸化式にすること。

 

特性方程式 { \displaystyle x^3-6x^2+11x-6=0} の解は { \displaystyle x=1,2,3} なので、特に { \displaystyle x=1} に注目して { \displaystyle b_n=(a_{n+1}-a_n)} についてまとめることができるはずである。すなわち   { \displaystyle b_n} についてはもはや3項間の漸化式になっている。 

　興味深いことに、  { \displaystyle b_n} に対する特性方程式の解は { \displaystyle x=2,3} であり、元の 3項間漸化式の時の残りの解になっていることがわかる(実は自明)。いずれにせよ、 { \displaystyle b_n} が求められるので、そこからさらに { \displaystyle a_n} を求めれば良い。

　このように、何次の漸化式であろうが、特性方程式の解を用いて次元を落としていけば、基本的に解けるようになる。