難問奇問数学自作問題24-呑んだ暮れの冒険(拡散と漸化式)-

「正六角形を6つの正三角形に等分割してできた小部屋を、左周りにA、B、C、D、E、Fとする。泥酔した宿泊客が、1分ごとに隣り合う小部屋に移動する、ないし現在の部屋にとどまる選択をするとする。このとき、右隣に移動する確率、左隣に移動する確率、とどまる確率は全て等しいとする。この客は最初にAにいるとして、 $n$ 分後にDの部屋にいる確率を求めよ。」

考え方のポイントは、

① 対称性を利用

② 複数の漸化式から簡単な関係式を導く

の2つである。

解答の流れを説明する。

まずポイント①より、 $n$ 分後に小部屋Bにいる確率とFにいる確率は等しく、小部屋Cにいる確率とEにいる確率も等しい。これにより、考えるべき数列は、4つの種類のみとなる。以下、例えばA、B、C、D、E、Fにいる確率をそれぞれ $A_n, B_n, C_n, D_n,C_n,B_n,$ とおく。これらについて漸化式を求める。