「 なる鋭角 を弧度法で表したとき、小数第二位の数字を答えよ。」 ポイントは角の二等分線を利用すること。 を利用すると良いが、このままでは求めることができない。上記のポイントに気づけば、難しくはない。

「 とするとき、 を求めよ。ただし、 は既知として良い。」 ポイントは特になし。 統計数理では、を指数分布と呼ぶ。正規分布などと同じ確率分布関数の一種である。平均(=期待値)は であり、 その周りのベキ乗の積分である を、 次のモーメントと呼ぶ。特に…

「3次元のベクトル 、 に対し、以下の関数を定義する。 ここで、 、 とする。ただし、 の外積は で定義する。 このとき、 の最小値と、それを与える を求めよ。」 ポイントは、積和公式を使いまくること。それに気づけば難しくはない。 上記の関数は、カイラ…

「以下の問いに答えよ(意欲のある人は(1)を見ずに)。 (1) 0以上の1以下の実数 に対し、 が成立することを示せ。 (2) 自然数 に対し、関数 を定義する。このとき、 を求めよ。」 ポイントは、挟み撃ちの原理と区分求積法。 基本的には、(1)の結果を用いて挟み…

「以下の問いに答えよ。 (1) 0以上の整数 についての方程式 を考える。このとき以下の問いに答えよ。 (a) ある解 が存在したと仮定する。このとき、 も解となることを示せ。 (b) 全ての解を求めよ。 (2) を満たす実数 のいずれかは無理数であることを示せ。…

「 半径 の半円の重心について、以下の方針でそれぞれ求めよ。 (1) パップス・ギュルダンの定理を利用して、重心の位置を求めよ。 (2) 区分求積法を用いて、重心の位置を求めよ。」 ポイントは、 ① モーメントの計算 ② 長方形による分割 パップスギュルダン…

「 を自然数、素数とするとき、 を満たす自然数 を求めよ。」 ポイントは、 ① 因数分解 ② 素数をしぼりこむ こと。 因数分解して各項に素数のべき乗を割り振るまでは定石。まずは、 を で表してみよう。すると、 から、素数の絞り込みができるはずである。あ…

「以下の問いに答えよ。 (1) を実数とするとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を示せ。」 ポイントは、 ① ひたすら微分と増減表を利用する ② 計算ミスをしない こと。 (1)では、 に対し、1階、2階、3階と微分していく。各導関数の最小値が0であることを示せ…

「 が成立する1以上の を求めよ。」 ポイントは、変数変換につきる。右辺において、 と変数変換してみる。すると、左辺と同じ積分区間になることが分かるが、被積分部分は変数変換により生じた の違いが生じる。このままでは埒があかないので、左辺 右辺を計…

「 を自然数とする。以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を求めよ。」 (1)の級数は、いわゆるテイラー展開に関するものである。(1)は帰納法でやるのが普通か。(2)では挟み撃ちの原理を使う。

「 が自然数となる素数 を全て求めよ。 」 1964年の東京オリンピックは、ニッポンの戦後からの脱却を世に知らしめた。再びのオリンピック。日本は何を世界にアピールすることができるのだろうか。 ポイントは端的に二項定理の活用。あとは、 に対して、 が …

「以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 となる解は2つのみ あることを示せ。 (2) となることを示せ。ここで、ネイピア数は で定義するとする。 」 ポイントは特になし。

「 は、および を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) かつ をしめせ。 (2) の全ての解のうち、3番目に大きい解を求めよ。」 ポイントは、「三角関数を連想する」こと。具体的には、倍角の公式、3倍角の公式の形に式がなっていることが分かる…

「勝ち負けが必ず決まるあるゲームがあるとする。匿名希望のA君は、このゲームをすると、2連敗してしまった後には必ず勝ってしまうという超能力を持っている。一方、イカサマ師で有名なB君は、イカサマを使うことでゲームの勝率が と高くなっている。 すなわ…

「 平面上に放物線 と、円 がある。放物線上の動点Pを通り、円に接する2つの接線の接点をQ、Rとする。このとき、線分QRが通過する領域の面積を求めよ。 」 ポイントは、 ① 2つの円の交線は、2つの円の方程式の差で求まる ② の積分をしっかりと！ である。 か…

「 以下の問いに答えよ。 (1) のうち少なくとも2つは異なるとする。このとき、 であれば、 が成り立つことを示せ。 (2) を自然数とし、 を素数とする。 が成り立つような の組みを全て求めよ。」 ポイントは、 ① が使えるか ② 判別式を用いて整数の組みを制…

「 を自然数とし、正 多角形を考える。この多角形をすべての対角線によって領域分割し、多角形の中心を含む領域の面積を とおく。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。」 ポイントは、「どの対角線が領域の生成に寄与するか」つきとめることである。対角線のうち…

「 以下の問いに答えよ。ただし を自然数とする。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。ただし、 とする。」 ポイントは、「微分の定義(微分係数)を使えるか」に尽きる。 (1)では、 と変換した上で式を整理すると、ある関数の微分係数になることがわかる。この時…

「 平面上に半円S と半円T がある。半円S上の定点A(1,0)、B(-1,0)と半円T上に動点Pをとり、半円SとAP、BPは交点を持ち、それぞれR、Qとする。三角形PQRと四角形ARQBの面積比がとなるとき、三角形PBAの面積を求めよ。」 ポイントは、 ① 円の性質(直径の円周角…

「 関数 は を満たす。また、 の値は0より大きい有理数のみをとるとする。このような を求めよ。」 ポイントは、 ① を求めてみようと思うこと ② 因数定理 である。 問題文の式から、 について閉じた方程式を得ることができる。これは3次方程式であり、因数定…

「 3辺の長さが の三角形ABCがある。辺BC、CA、ABをそれぞれ 等分する点を とする。ここで、辺BC上に頂点Bに近い方から順に 、辺CA上に頂点Cに近い方から順に 、辺AB上に頂点Aに近い方から順に とする。また、 と の交点を とする。このとき、以下の値を求め…

「紙面上に放物線 と、その下方に定点Pが描かれている。点Pから放物線への接線を、コンパスと定規で作図せよ。ただし、 軸も描かれているとする。」 ポイントは特にないが、過去の記事がヒントとなっている。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com

「 を満たす自然数の組 を、自然数 の値によって分類せよ。」 ポイントとしては「約分して整数になることを利用する」である。 略解を示す。 与えられた式は以下のように変形できる。 ここで、等比数列の和の公式を使うと、 と表せる。つまりこれは自然数と…

「 を満たす自然数の組 を求めよ」 難問ではないが、ポイントとしては ① 因数分解 ② 偶奇性を利用し解を限定する の2つがあるだろう。 つまり、解答の流れとしては、まず表題の式を因数分解し、出てきた項A、Bの偶奇性を調べる。本問の場合、AとBの偶奇性は…

「 は無理数であることを示せ。」 難しくないのでポイントはなし。強いて言うなら、無理数の和は無理数とは限らないこと。今回はルートなので無理数であることを示すのは簡単だが、これは特殊なケースである。例えば、円周率 、ネイピア数 は無理数であるこ…

「 自然数 、素数 とおくとき、 となる は存在しないことを示せ。また、 を満たす が存在しないことも示せ。」 ポイントは ① 常に因数分解可能か否か考える ② 困ったら、二次関数の知識を使う である。 と因数分解できるため、一項目、二項目は あるいはその…

「 自然数 に対し、1を含むが を除く正の約数の和を考える。この約数の和がもとの数 に等しいとき、これを完全数と呼ぶ。2つの異なる素数を とおくとき、以下の問いに答えよ。ただし、素数は1を含まないとする。 (1) とかけるような完全数 を全て求めよ。 (2…

「 を満たす数列の一般項を求めよ。ただし、 とする。」 ポイントは「積の漸化式は対数をとる」こと。 この時中身が正になることの証明を忘れずに。また、この問題は右辺の のクセがつよい〜 これを解消して正常な3項間漸化式にしたいのだが...

「紙面上に2つの円が描かれている。2つに円は交点や接点を持たず、一方が他方を包含していることもないとする。この時、2つの円の共通接線を作図する方法を述べよ」 ポイントは特になし。

「 上に動点Pをとり、中心をPとして 軸に接する円Cを作る。このとき、 軸との接点をHとする。以下の問いに答えよ。 (1) 円Cの通過する領域を求めよ。 (2) 円Cが常に接する円Dが存在し、この中心をAとする。 APHを とおく。特に、点Pの 座標が自然数 となる時…