難問奇問数学自作問題38-本当にあった見掛け倒しの関数-

大学入試 自作問題 奇問 方程式 数と式

「 関数  { \displaystyle f(x)} は { \displaystyle f(x+y)=-\frac{3}{10}+\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}} を満たす。また、  { \displaystyle f(x)} の値は0より大きい有理数のみをとるとする。このような  { \displaystyle f(x)} を求めよ。」

 

 

ポイントは、

①   { \displaystyle f(0)} を求めてみようと思うこと 

② 因数定理

である。

 

問題文の式から、  { \displaystyle f(0)} について閉じた方程式を得ることができる。これは3次方程式であり、因数定理で解を求めることができる。  { \displaystyle f(0)} が決まれば、あとは  { \displaystyle y\to 0} としてやれば、  { \displaystyle f(x)} に関する方程式を得ることができる。