難問奇問数学自作問題39-三平方＆相似をフル活用-

大学入試 自作問題 平面図形の性質

「  { \displaystyle xy} 平面上に半円S { \displaystyle x^2+y^2=1\ (y\geq 0)}と半円T { \displaystyle x^2+y^2=4\ (y\geq 0)} がある。半円S上の定点A(1,0)、B(-1,0)と半円T上に動点Pをとり、半円SとAP、BPは交点を持ち、それぞれR、Qとする。三角形PQRと四角形ARQBの面積比が { \displaystyle 13^2:16^2}となるとき、三角形PBAの面積を求めよ。」

 

 

ポイントは、

① 円の性質(直径の円周角は90度)

② 相似を利用

である。

 

そこまで難しくはないが、PQ(もしくはPR)の長さを如何にして求めるかが重要。これにはポイント①を使うと良い。面積は相似比をうまく使うと簡単に求まる。