「空間に高さ1、半径1の円柱があり、下底円の中心を(0,0,0)、上底円の中心を(0,0,1)とする。今の放物線の形をしたカッターが、軸に沿ってからに動く。このとき、カッターで切り取られる円柱の立体のうち原点を含む方の体積を求めよ。」 難しくないので解説は…

「空間に高さ、底円の半径の直円柱と斜円柱がある。ここでの上底円、下底円は(0,0,1)、(0,0,0)を中心として平面に平行であり、の上底円、下底円は(2,0,1)、(0,0,0)を中心として平面に平行であるとする。このとき、との共通部分の体積を求めよ。」 軸に対して…

「１辺の長さが1の正十二面体について、以下の問いに答えよ。 (ヒント：適当な8頂点からなる立方体が存在することを利用する) (1) 外接円の半径の長さを求めよ。 (2) 体積を求めよ。」

「以下の問いに答えよ。 (1) 平面に半径1、中心を原点Oとする円がある。円周上の動点Pを中心にもつ1辺が1の正方形ABCDを、ABとCDが軸に平行、BCとDAが軸と平行になるように作る。動点Pを動かすとき、正方形ABCDの通過する領域の面積を求めよ。 (2) 空間に半…

「四面体O-ABCにおいて、 とする。このとき、四面体O-ABCの体積が、 となることを示せ。ここで、外積は で定義する。ただし、この外積の絶対値が三角形OBCの面積の2倍に等しくなることは自明ではないものとする。」 をスカラー三重積と呼び、3つのベクトルで…

「前問において、円錐Vの中身が詰まっていないとする。すなわち、厚みのない円錐Vを考え、それに対する回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、前問では最大半径のみを考えたが、今回は最小半径も考える必要があること。つまり、最小半径を回してできる立体を…

「3次元 空間において、半径 の底円を 平面上に持ち、頂点を とする、中身の詰まった直円錐Vがある。Vを 軸に関して1周させてできる回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、回転体の体積を求めるには回転軸からもっとも離れた点を考えれば良いことである。Vを…

「平面 :と点P() との距離は， と表せることを示せ。」 2次元の点と直線の距離の公式を、3次元に拡張した問題。

「半径1の球に内接する円錐を考え、円錐の表面積が最大になる時の高さを求めよ」 考え方のポイントは、① どこを とおくか ② 因数定理で解を見つける の2点。 最初の方針は難しくないが、増減表を描くのに一工夫必要。結果からいうと、円錐の高さを とおくと…

「関数 に対し、以下の問いに答えよ。 (1) を求めよ 。 (2) を求めよ。 」 考え方のポイントは、① (1)は回転体の体積？ ② (2)ってガウス積分じゃん！！ ③ 回転体の3d関数 ④ 体積は輪切りで の4点。 ガウス積分は本来大学で習う内容である。本問題は、高校で…

「平面 上に、それぞれの球同士が接するように、半径1,2,3の3つの球が置かれている。また、この3つの球の上に接するように平面 を置いた。このとき以下の問いに答えよ。 (1) 平面 と3つの球との接点で作られる三角形の面積を求めよ。 (2) 平面 と のなす角を…

「三辺の長さがそれぞれ の鋭角三角形がある。この三角形を4つ貼り合わせて四面体OABCを作った。ただし、OA=BC= 、OB=CA= 、OC=AB= であるとする。この四面体の体積を として、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。ただし は、 を3辺とする三角形の…

「 半径 の底円を持つ高さ の円柱があり、側面に厚みのない紙が巻き付けられているとする。この円柱の底円の円周上の点Pと、上円の円周上の点Qを通る平面による切断を考える。Pの直上にある上円の円周上の点P'に対し、Qは円の中心に対して対象な位置にあると…