難問奇問数学自作問題78-スカラー三重積は強い-

大学入試 自作問題 難問 奇問 ベクトル 空間図形

「四面体O-ABCにおいて、 { \displaystyle \vec{a}=\vec{OA},\vec{b}=\vec{OB},\vec{c}=\vec{OC}} とする。このとき、四面体O-ABCの体積が、 { \displaystyle \frac{1}{6}|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|} となることを示せ。ここで、外積は { \displaystyle \vec{b}\times\vec{c}=(b_2c_3-b_3c_2,b_3c_1-b_1c_3,b_1c_2-b_2c_1)} で定義する。ただし、この外積の絶対値が三角形OBCの面積の2倍に等しくなることは自明ではないものとする。」

 

 

 

{ \displaystyle \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})} をスカラー三重積と呼び、3つのベクトルで構成される”平行六面体”の体積に等しくなることが知られている。本問題では、それをえっちらおっちら確かめようという問題。まずは、 { \displaystyle \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})} が三角形OBCの面に垂直で、かつ大きさがその面積の2倍になっていることを示そう。