難問奇問数学自作問題10-四面体の体積とヘロンの公式-

「三辺の長さがそれぞれ $a,b,c$ の鋭角三角形がある。この三角形を4つ貼り合わせて四面体OABCを作った。ただし、OA=BC= $a$ 、OB=CA= $b$ 、OC=AB= $c$ であるとする。この四面体の体積を $V$ として、以下の問いに答えよ。

(1) $V=\sqrt{\frac{2}{L}}\frac{S}{3}$ となることを示せ。ただし $L,S$ は、 $a^2,b^2,c^2$ を3辺とする三角形の周の長さ、及びその面積とする。

(2) $L=l$ で一定のとき、 $V$ の最大値を求めよ。」

考え方のポイントは、
① 四面体の体積は、その辺を各面の対角線に持つような直方体を用いて計算する

② 周の長さ＆面積が登場しているので、ヘロンの公式を使う

こと。ちなみに(1)の関係はあまり知られていない(もしかしたらこのブログで初めて明示されたのかも？さすがにそれはないか笑？)。

以下、解答の流れを説明する。

　(1)はポイント①を知らないときつい。また、知っていたとしても計算が複雑でややこしい。手順としては、

ポイント①の直方体を作る→その縦横高さを三平方の定理で導出し体積を求める→求めたい四面体と直方体の体積比を考え、 $V$ を算出する→ $S$ はヘロンの公式よりもとまるので、先ほど得られた $V$ との比較をする。

　(2)は、前回の問題の結果を使えば一発。