難問奇問数学自作問題102-n個の相加相乗平均の不等式-

大学入試 自作問題 難問 相加相乗平均 微分

「正の数 { \displaystyle x_1,x_2,x_3,...}について以下の問いに答えよ。また、 { \displaystyle n}は1以上の自然数とする。

(1) { \displaystyle n\left(\frac{\sum_{i}^{n}x_i}{n}-(x_1 x_2...x_n)^{1/n}\right)\leq (n+1)\left(\frac{\sum_{i}^{n+1}x_i}{n+1}-(x_1 x_2...x_{n+1})^{1/(n+1)}\right)} が成り立つことを示せ。

(2) 相加平均  { \displaystyle M_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i}、調和平均  { \displaystyle M_{-1}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}x_i^{-1}}}、相乗平均  { \displaystyle M_0=(x_1 x_2...x_n)^{1/n}} を定義する。 { \displaystyle M_{-1}\leq M_{0} \leq M_{1}} を証明せよ。」

 

 

n個の相加相乗平均の不等式を示す問題。前回の記事の問題では、対数の関数の性質を用いて評価したが、今回は別の方法で導く。また、その結果を用いて各平均の大小関係を評価する。

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 (1)では、 { \displaystyle (x_n)^{1/(n+1)}}を変数としておき、増減表を書いて評価すれば良い。(1)の結果より、 { \displaystyle 0=1(x_1-x_1)\geq...\geq n(\frac{\sum_{i}^{n}x_i}{n}-(x_1 x_2...x_n)^{1/n})} を得るため、相加相乗平均が導ける。等号成立は、全ての等式条件が成り立つ時なので、 { \displaystyle x_1=x_2=...=x_n}の時に限る。

(2)は、前回の記事と同じ方針で良い。