難問奇問数学自作問題94-最大値と最小値の差の確率分布 つづき-

大学入試 自作問題 難問 場合の数 確率

「サイコロを { \displaystyle n}回投げた目の最大値 { \displaystyle M}、最小値 { \displaystyle m}の差を { \displaystyle x}とする。 { \displaystyle x}の期待値を { \displaystyle n}で表し、 { \displaystyle n\to \infty}の極限を求めよ。」

 

問題90の追加問題で、ポイントは全く同じ。

suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com

 

以下、 { \displaystyle x=i\ (i=0,1,2,3,4,5)}となる確率を { \displaystyle P_n(x=i)}とおく。

 各確率を求めると、

{ \displaystyle P_n(x=0)=\frac{6}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=1)=\frac{5(2^n)-10}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=2)=\frac{4(3^n)-8(2^n)+4}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=3)=\frac{3(4^n)-6(3^n)+3(2^n)}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=4)=\frac{2(5^n)-4(4^n)+2(3^n)}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=5)=\frac{6^n-2(5^n)+(4^n)}{6^n}}

 となる。よって、期待値は

{ \displaystyle \sum_{i=0}^{5}iP_n(x=i)=5-\frac{2(1+2^n+3^n+4^n+5^n)}{6^n}}

となり、極限は5となる。つまり、「十分多い回数サイコロを振れば、1と6が両方出現する」という尤もな結果になることが分かる。