難問奇問数学自作問題90-最大値と最小値の差の確率分布-

大学入試 自作問題 難問 場合の数 確率

「サイコロを { \displaystyle n}回投げた目の最大値 { \displaystyle M}、最小値 { \displaystyle m}の差を { \displaystyle x}とする。 { \displaystyle x=i\ (i=0,1,2,3,4,5)}となる確率を { \displaystyle P_n(x=i)}とおく。 { \displaystyle 2P_n(x=2)+3P_n(x=3)=18P_n(x=1)}が成り立つような { \displaystyle n}を求めよ。」

 

最大値と最小値の差の分布に関する問題。例えば、 { \displaystyle (M,m)=(3,1)} の時は、「1と3が出て、4~6が出ない」確率となる。このままだと求めるのが難しいので、基本的に「◯の目が出ない」確率だけで表現するのが望ましい。これは「◯が出る=◯が1回、2回、・・・n回出る」のに対し、「◯が出ない=◯が0回出る」となるので、明らかにシンプルに求めることができるからである。

基本方針としては、上記の「余事象」による確率表現で { \displaystyle P_n(x=1),P_n(x=2),P_n(x=3)} を求め、等式を立てると良い。困ったらベン図を書いて頭を整理しよう。

 

参考までに全ての { \displaystyle P_n(x=i)}を求めておくと、

{ \displaystyle P_n(x=0)=\frac{6}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=1)=\frac{5(2^n)-10}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=2)=\frac{4(3^n)-8(2^n)+4}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=3)=\frac{3(4^n)-6(3^n)+3(2^n)}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=4)=\frac{2(5^n)-4(4^n)+2(3^n)}{6^n}}

{ \displaystyle P_n(x=5)=\frac{6^n-2(5^n)+(4^n)}{6^n}}

 となる。