「AさんとBさんが、引き分けがなく勝敗が必ず決まるゲームを行う。Aさんが勝つ確率は、負ける確率はであるとする。初めてAさんが2連勝した時、このゲームを終えるとする。ちょうど回目でゲームが終了する確率を求めよ。」 のままでは確率漸化式が立てにくい…

「問題44に関して、を求めよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com の満たす漸化式を利用する。するとが示せるので、これからに関する漸化式を求めれば良い。 具体的に漸化式はとなる。

「を実数を用いてと変換する。任意の実数に対してが成り立つとき、をを用いて表せ。」 を時間、を空間座標としたとき、のことを「世界間隔」と呼ぶ。特殊相対性理論では、世界間隔がローレンツ変換の下で不変になるように構成される。ローレンツ変換では、時…

「に上向きの矢印があるとする。これをアップスピンと呼ぶことにする。以下、下向きの矢印をダウンスピンと呼ぶ。に、原点から近い順にアップスピンかダウンスピンのいずれかを配置していく。その際、左隣と同じ向きのスピンを、逆向きのスピンをの確率で配…

「ある生物は、0才になった個体は1年後に子供を1匹産み、1才になった個体は1年後に2匹産む。2才になった個体は子供を産むことなく翌年までに死滅するとする。今、ちょうど0才になった個体が1匹いてそれ以外の年齢の個体がいないとき、年後にこの個体は何匹い…

「以下の問いに答えよ。 (1) 2つのについての方程式 と、が同値となるとき、をを用いて表せ。 (2) についての方程式 を解け。」 特殊な4次方程式の解放に関する問題。(1)は(2)の誘導で、因数定理を用いれば の値が決定する。すると、を解けば良い。

「人の中から、1人以上人を選ぶ場合を考える。このとき、選んだ人数が奇数となる場合の数と、偶数となる場合の数の大小を比較せよ。」 二項定理 および を利用すると良い。結果として、必ず奇数人選ぶ場合の数が多くなる。

「サイコロを4回ふり、出た目を順にとする。この値を座標にとった点A()と点B()に対し、3点O()、A()、B()を頂点とする三角形が存在する確率を求めよ。」 ノーヒント。難問ではないが思いついたので書いておく。

「正の数 について以下の問いに答えよ。また、は1以上の自然数とする。 (1) が成り立つことを示せ。 (2) 相加平均 、調和平均 、相乗平均 を定義する。 を証明せよ。」 n個の相加相乗平均の不等式を示す問題。前回の記事の問題では、対数の関数の性質を用い…

「１辺の長さが3の正三角形ABCがあり、辺AB、BC、CAを三等分する点を左回りでD、E、F、G、H、Iのようにとる。また、正三角形ABCの重心をOとする。こうしてできた点A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jを移動する虫がいる。この虫は、点Oからスタートし、1秒ごとに…

「１辺の長さが1の正十二面体について、以下の問いに答えよ。 (ヒント：適当な8頂点からなる立方体が存在することを利用する) (1) 外接円の半径の長さを求めよ。 (2) 体積を求めよ。」

「正十二面体の各頂点を移動する怪人がいる。怪人は、頂点の一つPからスタートし、1秒ごとに隣り合う頂点に等しい確率で移動する。頂点Pからもっとも離れた頂点をQとし、スタートから秒後に頂点Pに怪盗がいる確率を、頂点Qに怪人がいる確率をとする。をで表…

「とする。の異なる交点の数を、の値で場合分けして求めよ。」 まともにやると４次関数が出てくるので工夫しよう。両辺の足し算と引き算を計算して式を整理してみよう。 場合分けした後、途中でが得られるが、解と係数の関係を使って考えると容易。