難問奇問数学自作問題110-ジャイアンとのび太がゲームをするとこうなります-

大学入試 自作問題 難問 奇問 確率 漸化式

「AさんとBさんが、引き分けがなく勝敗が必ず決まるゲームを行う。Aさんが勝つ確率は { \displaystyle 2/3}、負ける確率は { \displaystyle 1/3}であるとする。初めてAさんが2連勝した時、このゲームを終えるとする。ちょうど { \displaystyle n}回目でゲームが終了する確率 { \displaystyle P_n}を求めよ。」

 

 

{ \displaystyle P_n}のままでは確率漸化式が立てにくいので、以下のように他の事象の確率を定義しよう。

  { \displaystyle n}回目までゲームが続きちょうど { \displaystyle n}回目でAさんが勝利する確率を { \displaystyle Q_n}、 { \displaystyle n}回目までゲームが続きちょうど { \displaystyle n}回目でAさんが敗北する確率を { \displaystyle R_n}とする。

まずは、 { \displaystyle P_{n+1},Q_{n+1},R_{n+1}}を、 { \displaystyle Q_n,R_n}で表してみよう。立てた漸化式から、先に { \displaystyle Q_n}について求めると良い。

答えだけ書いておくと、 { \displaystyle P_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-4\left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1}}