「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とする。 を求めよ。 (2) 任意の自然数に対し、 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 が単調減少であることを利用すること。 (1)はよくある有名問題。(2)では、上記のポイントから証明できる。この結果により…

「 を示せ。」 考え方のポイントは、 と の大小比較に関する問題か？ と考えられること。 解の方針としては、 が で単調増加であることを利用すれば良い。

「半径1の球に内接する円錐を考え、円錐の表面積が最大になる時の高さを求めよ」 考え方のポイントは、① どこを とおくか ② 因数定理で解を見つける の2点。 最初の方針は難しくないが、増減表を描くのに一工夫必要。結果からいうと、円錐の高さを とおくと…

「一辺の長さが1の正三角形ABCに対し、頂点Aを中心とする弧BC、頂点Bを中心とする弧CA、頂点Cを中心とする弧ABを描く。これらの弧によって囲まれた図形を、直線 の上に置き転がすことを考える。最初の時点では、直線 に垂直に頂点A、Bがあり、Bが に接してい…

「関数 に対し、以下の問いに答えよ。 (1) を求めよ 。 (2) を求めよ。 」 考え方のポイントは、① (1)は回転体の体積？ ② (2)ってガウス積分じゃん！！ ③ 回転体の3d関数 ④ 体積は輪切りで の4点。 ガウス積分は本来大学で習う内容である。本問題は、高校で…

「 として、 平面上にE: がある。また、 P 、Q とする。E上に動点S、Tがあるとして、以下の問いに答えよ。 (1) Sのとりかたに依らず、PS+QSが一定であることを示せ。 (2) 線分ST上にQがある正三角形PSTが存在する必要十分条件を、 を用いて表せ。」 考え方の…

「正数 は を満たす。ただし は1未満の整数とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 を求めよ。 (2) についての3次方程式 の解を とする。 を を用いて表せ。ただし、必要なものだけ用いて良い。」 考え方のポイントは、① coshの関係式をうまく3…

「以下の問いに答えよ。 (1) を1未満の正数とする。このとき、 を示せ。 (2) を求めよ。 (3) 、 なる数列に対し、 を求めよ。」 考え方のポイントは、① 挟み撃ちの原理を使えるか ② 数列の一般項を積分表示できるか の2点。 以下、解答のヒントを説明する。 …

「平面 上に、それぞれの球同士が接するように、半径1,2,3の3つの球が置かれている。また、この3つの球の上に接するように平面 を置いた。このとき以下の問いに答えよ。 (1) 平面 と3つの球との接点で作られる三角形の面積を求めよ。 (2) 平面 と のなす角を…

「三辺の長さがそれぞれ の鋭角三角形がある。この三角形を4つ貼り合わせて四面体OABCを作った。ただし、OA=BC= 、OB=CA= 、OC=AB= であるとする。この四面体の体積を として、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。ただし は、 を3辺とする三角形の…

「周の長さが の三角形の面積の最大値を求めよ。」 考え方のポイントは、① ヘロンの公式 ② 相加相乗平均 の二つ。各辺を としてヘロンの公式 で面積を表し、相加相乗平均で最大値を求めればよく、そんなに難しくはない。 面積が最大となるのは正三角形の時で…

「以下を示せ。 (1) (2) 」 考え方のポイントは、① サインの周期性を利用する ② 「logで三角関数ときたら、倍角の公式を連想する」 ③ 「logでシグマときたら、一つにまとめる」 こと。ちなみに(1)の解法はオイラーによるものである。 以下、略解を説明する。…

「0でないに対し、 を示せ」 考え方のポイントは、「サイン、コサイン、2のベキときたら、倍角の公式を連想すべし」である。 それが分かればあとは難しくないので、解は省略。

「鋭角三角形において、各角度を とする。このとき、 の最小値を求めよ」 以下、考え方兼略解。 考え方のポイントは、なぜ鋭角に限定するのか→相加相乗平均とか使うのか？？と考えれること。 略解を簡単に説明する。 相加相乗平均により、 をえる。ここでさ…

「平面上の2点 に対して、 及び を定義する。 いま、点A(1,0)と、 の円周上の動点Pがある。この時、以下の最大値を求めよ。 (1) (2) 」 以下、考え方兼ヒント。 考え方のポイントは、① 三角関数を使うのが良さそう② (2)は通常の距離 とマンハッタン距離 のハ…

「いま、紙面上に長さがそれぞれ の2つの線分が記載されている。これを元に、以下の長さの線分を同紙面に図示せよ。ただし、使用できるのは定規、コンパス、筆記具のみとする。 (1) (2) (3) 」 以下、考え方兼略解。 考え方のポイントは、① 平方根があるので…

☆数学 趣味編 大学入試レベルの数学力をさらに鍛えるための、”趣味”の数学参考書を紹介。 ・数学 超絶難問 そこまで”超絶”の難問はないが、歴史的な古典数学の有名問題を紹介する問題集。整数問題、数列、無限級数、場合の数、などが多い。難易度というより…

☆数学 分野別編 最難関大学入試レベルの数学を中心に、オススメの参考書を紹介します。 整数 ・教科書だけでは足りない大学入試攻略整数 (河合塾シリーズ) 整数問題を、基本〜難問まで段階的に学習していける参考書兼問題集。難易度はそこまで高くない。 教…

「 として を満たす関数 がある。この関数は、 で , で とする。この時、以下の問いに答えよ。 (1) , を示せ。 (2) 自然数 に対して を満たすような整数を とする。この時、 が成り立つことを示せ。 (3) 自然数 に対し、 が最大となる を求めよ。 」 以下、…

「 、、 とそれぞれ定義する。この時、以下の問いに答えよ。 (1) を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) を求めよ。 (4) を求めよ。」 作ってて自分でも計算だるくなってしまったと思いつつ、問題自体の着想が面白いので掲載してみる。以下、考え方兼略解。 考え方…

「 半径 の底円を持つ高さ の円柱があり、側面に厚みのない紙が巻き付けられているとする。この円柱の底円の円周上の点Pと、上円の円周上の点Qを通る平面による切断を考える。Pの直上にある上円の円周上の点P'に対し、Qは円の中心に対して対象な位置にあると…