難問奇問数学自作問題8-オイラーの積分を利用して-

「以下を示せ。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}log(sin x)dx=-\frac{\pi}{2}log2$

(2) $\sum_{i=0}^{\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}log\left(cos \frac{x}{2^i}\right)dx=\frac{\pi}{2}(1-log\pi)$ 」

考え方のポイントは、
① サインの周期性を利用する

② 「logで三角関数ときたら、倍角の公式を連想する」

③ 「logでシグマときたら、一つにまとめる」

こと。ちなみに(1)の解法はオイラーによるものである。

以下、略解を説明する。

(1)は以下の手順でK.O.。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}log(sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}log(cos x)dx$ を証明→ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}log(sin x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}log(cos x)dx$ を、倍角の公式を使って計算する→ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}log(sin x)dx$ の閉じた式を得る。