「以下の問いに答えよ。 (1) 無限小数となる有理数は循環小数になることを示せ。ただし、循環小数とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。 (2) 自然数を小さい順に 個並べてできた小数を考える。例えば、となる。 (a) をを…

「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とし、 として により数列を定義する。このとき、 が成り立つことを示せ。また、 が方程式 の解となるとき、 もその式の自然数解になることを示せ。 (2) を自然数とするとき、方程式の自然数解を2つ求めよ。」 ペル方程…

「 を自然数とし、 を満たす有理数 を考える。 となる解が無数に存在することを示せ。」 ヒントは、ピタゴラス数が無数にあることをまず示すこと。すなわち、 は常に を満足するので、 を好きな整数に取ればいくらでもピタゴラス数ができる。この事実を踏ま…

「 を自然数として、 が、ある自然数の4乗になっているという。 を求めよ。」 ポイントは、 が、 より大きく、 より小さくなることである。すると、強制的にある数の4乗になっていなければならず ・・・

「 関数 は正の整数 に対して定義され、正の整数値とる関数で以下の性質を満たす。このような を求めよ。 ① ② であれば、 ③ 」 ポイントは、帰納法を使うこと。まずは関数の予測だ。帰納法では偶奇による場合分けをすると見通しが良くなるかもしれない。

「以下の問いに答えよ。 (1) 0以上の整数 についての方程式 を考える。このとき以下の問いに答えよ。 (a) ある解 が存在したと仮定する。このとき、 も解となることを示せ。 (b) 全ての解を求めよ。 (2) を満たす実数 のいずれかは無理数であることを示せ。…

「 を自然数、素数とするとき、 を満たす自然数 を求めよ。」 ポイントは、 ① 因数分解 ② 素数をしぼりこむ こと。 因数分解して各項に素数のべき乗を割り振るまでは定石。まずは、 を で表してみよう。すると、 から、素数の絞り込みができるはずである。あ…

「 が自然数となる素数 を全て求めよ。 」 1964年の東京オリンピックは、ニッポンの戦後からの脱却を世に知らしめた。再びのオリンピック。日本は何を世界にアピールすることができるのだろうか。 ポイントは端的に二項定理の活用。あとは、 に対して、 が …

「 以下の問いに答えよ。 (1) のうち少なくとも2つは異なるとする。このとき、 であれば、 が成り立つことを示せ。 (2) を自然数とし、 を素数とする。 が成り立つような の組みを全て求めよ。」 ポイントは、 ① が使えるか ② 判別式を用いて整数の組みを制…

「 を満たす自然数の組 を、自然数 の値によって分類せよ。」 ポイントとしては「約分して整数になることを利用する」である。 略解を示す。 与えられた式は以下のように変形できる。 ここで、等比数列の和の公式を使うと、 と表せる。つまりこれは自然数と…

「 を満たす自然数の組 を求めよ」 難問ではないが、ポイントとしては ① 因数分解 ② 偶奇性を利用し解を限定する の2つがあるだろう。 つまり、解答の流れとしては、まず表題の式を因数分解し、出てきた項A、Bの偶奇性を調べる。本問の場合、AとBの偶奇性は…

「 自然数 、素数 とおくとき、 となる は存在しないことを示せ。また、 を満たす が存在しないことも示せ。」 ポイントは ① 常に因数分解可能か否か考える ② 困ったら、二次関数の知識を使う である。 と因数分解できるため、一項目、二項目は あるいはその…

「 自然数 に対し、1を含むが を除く正の約数の和を考える。この約数の和がもとの数 に等しいとき、これを完全数と呼ぶ。2つの異なる素数を とおくとき、以下の問いに答えよ。ただし、素数は1を含まないとする。 (1) とかけるような完全数 を全て求めよ。 (2…

「 として を満たす関数 がある。この関数は、 で , で とする。この時、以下の問いに答えよ。 (1) , を示せ。 (2) 自然数 に対して を満たすような整数を とする。この時、 が成り立つことを示せ。 (3) 自然数 に対し、 が最大となる を求めよ。 」 以下、…