難問奇問数学自作問題47-東京オリンピック今昔物語-

 { \displaystyle \frac{2020^p-1964}{p}}自然数となる素数  { \displaystyle p} を全て求めよ。 」

 

1964年の東京オリンピックは、ニッポンの戦後からの脱却を世に知らしめた。再びのオリンピック。日本は何を世界にアピールすることができるのだろうか。

 

ポイントは端的に二項定理の活用。あとは、 { \displaystyle k=1,2,...,p-1 } に対して、  { \displaystyle {}_{p} C _k } { \displaystyle p} の倍数になることを用いる。そうすれば、 { \displaystyle a_n=\frac{n^p-(n-56)}{p}}自然数であることと、 { \displaystyle a_{n-1}}自然数であることが同値であることが示せる。

他にも別解は多数。