難問奇問数学自作問題48-ネイピア・テイラー・スウィフト-

 { \displaystyle n}自然数とする。以下の問いに答えよ。

(1)  { \displaystyle x\geq 0}に対し、 { \displaystyle I_n(x)=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{(-x)^{n}}{k!}} とする。このとき、 { \displaystyle I_{2n-1}\leq e^{-x}}\leq I_{2n} が成り立つことを示せ。 

(2)  { \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k+2)}} を求めよ。」

 

(1)の級数は、いわゆるテイラー展開に関するものである。(1)は帰納法でやるのが普通か。(2)では挟み撃ちの原理を使う。