「の異なる交点の数を、の値で場合分けして求めよ。」 代入法で愚直に計算すると4次方程式の解の個数を調べることになり、計算も煩雑になる。奇問でも難問でも無いが、場合分けにしっかり注意してほしい。「実は同じ解になってる！」場合もある。

「以下の問いに答えよ。 (1) 無限小数となる有理数は循環小数になることを示せ。ただし、循環小数とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。 (2) 自然数を小さい順に 個並べてできた小数を考える。例えば、となる。 (a) をを…

「ネイピア数(自然対数の底)がとなることを示せ。」 示す方法は山のようにある。ノーヒント。

「サイコロを回投げた目の最大値、最小値の差をとする。の期待値をで表し、の極限を求めよ。」 問題90の追加問題で、ポイントは全く同じ。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 以下、となる確率をとおく。 各確率を求めると、 となる。よって、期…

「三角形ABCにおいて、とおく。 このとき、 を定義する。 が成り立つことを示せ。ただし、前問(3)の結果は用いてはならない。」 下限は、前問の(3)でとした時の式、すなわちネスビットの不等式に一致する。今回は、それとは別の方法で示そう。 の両辺にを掛…

「以下の問いに答えよ。 (1) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。 (2) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。ただし、 とする。 (3) 正の実数 に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。」 意欲のある人は(2)から、あるいは(3)から解い…

「以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 が成り立つことを示せ。 (2) 0以上の整数に対し、を求めよ。ただし、とする。 (3) を示せ。」 を近似しようという問題。(2)では部分積分を用いて漸化式を立てると良い。その結果、を得る。 (3)では、として(1)と(2)を利…

「サイコロを回投げた目の最大値、最小値の差をとする。となる確率をとおく。が成り立つような を求めよ。」 最大値と最小値の差の分布に関する問題。例えば、 の時は、「1と3が出て、4~6が出ない」確率となる。このままだと求めるのが難しいので、基本的に…

「三角形ABCにおいて、外心をOとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 基本は前問と同じ。まずは、外心の位置を特定しよう。外心は各辺の垂直二等分線の交点であるので、Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとすると、が成り立つ。を…

「三角形ABCにおいて、垂心をHとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 まずは、垂心の位置を特定しよう。ベクトルでやるより、初等的に三平方の定理やメネラウスの定理を使うと良い。以下、とおく。 条件式は、 と同値であり、を…

「以下の問いに答えよ。 (1) 実数係数からなるの多項式において、1つの解が のとき、 も解になることを示せ。ただし、 は実数で、 とする。 (2) をある実数とする。4次方程式 の解のうち2つが のとき、を求めよ。」 いわゆる実係数多項式の共役根に関する問…

「鋭角三角形ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点P、Q、Rをとる。こうしてできる三角形PQRの周の長さが最小になるとき、点P、Q、Rの位置は各辺上のどこに取れば良いか。また、周の長さの最小値を辺BC、CA、ABの長さを用いて表せ。」 あまり知られていない垂心の…

「長軸 , 短軸 の楕円上に点Pをとり、その点における法線と楕円との交点のうちPでないもの点Qとする。このとき、線分PQの最小値を求めよ。」 一見短軸そのものが自明な解だと勘違いしてしまうが、 の値によっては、そうとは限らない。計算が結構しんどい問題…

「実数が を満たしながら動くとき、の取りうる値の範囲を求めよ。」 対称式 を用いて式を整理することに尽きる。条件式 を用いることで、を のみで表すことができる。 注意点は、の値は自由に取れないということ。が実数になるためには、 に何らかの制約が生…

「以下の問いに答えよ。 (1) 平面に半径1、中心を原点Oとする円がある。円周上の動点Pを中心にもつ1辺が1の正方形ABCDを、ABとCDが軸に平行、BCとDAが軸と平行になるように作る。動点Pを動かすとき、正方形ABCDの通過する領域の面積を求めよ。 (2) 空間に半…

「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とし、 として により数列を定義する。このとき、 が成り立つことを示せ。また、 が方程式 の解となるとき、 もその式の自然数解になることを示せ。 (2) を自然数とするとき、方程式の自然数解を2つ求めよ。」 ペル方程…

「 を自然数とし、 を満たす有理数 を考える。 となる解が無数に存在することを示せ。」 ヒントは、ピタゴラス数が無数にあることをまず示すこと。すなわち、 は常に を満足するので、 を好きな整数に取ればいくらでもピタゴラス数ができる。この事実を踏ま…

「３次元空間のベクトル がある。このとき、が一次独立であることの必要十分条件は、であることを示せ。ここで、外積は で定義する。」 前々問で述べたように、 をスカラー三重積と呼ぶ。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com の結果から、スカラー…

「一辺が1の正 多角形 が 平面上にある。に、正多角形の中心が原点に来るようにして、各頂点を左回りに取るとする。 このとき、 を定義する。、 を求めよ。」 まず、3倍角の公式を用いて式を整理しよう。 次に、オイラーの公式 を用いて指数表示にし、等比数…

「四面体O-ABCにおいて、 とする。このとき、四面体O-ABCの体積が、 となることを示せ。ここで、外積は で定義する。ただし、この外積の絶対値が三角形OBCの面積の2倍に等しくなることは自明ではないものとする。」 をスカラー三重積と呼び、3つのベクトルで…

「 を自然数として、 を定義する。 このとき、 は についての多項式になるが、最高次の次数とその係数を求めよ。」 解き方は色々ありそうだが、例えば二項定理＆帰納法による方法。まず、 において、 としてみよう。すると、 と表せる。 さらに、左辺は二項…

「 を自然数として、 が、ある自然数の4乗になっているという。 を求めよ。」 ポイントは、 が、 より大きく、 より小さくなることである。すると、強制的にある数の4乗になっていなければならず ・・・

「前問において、円錐Vの中身が詰まっていないとする。すなわち、厚みのない円錐Vを考え、それに対する回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、前問では最大半径のみを考えたが、今回は最小半径も考える必要があること。つまり、最小半径を回してできる立体を…

「3次元 空間において、半径 の底円を 平面上に持ち、頂点を とする、中身の詰まった直円錐Vがある。Vを 軸に関して1周させてできる回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、回転体の体積を求めるには回転軸からもっとも離れた点を考えれば良いことである。Vを…

「前問において、時刻 において 、 の障壁よりも右側に存在する粒子たちの重心の位置を とする。ここで は自然数とした。 を を用いて表し、 を求めよ。」 ポイントは、粒子がどこにどれだけいるか、しっかり抑えること。右側だけに限った場合、一番先行して…

「軸上の に厚みのない障壁がある。 の障壁に、大きさのない個の粒子が軸の負の方向から正の方向に向かって同時に入射する。粒子同士はぶつかり合ったりせず、入射する前の速さはで等しいとする。各粒子は障壁に対して の確率で反射し、 の確率で透過する()…

「以下の問いに答えよ。 (1) において、 のグラフの概形を書け。 (2) 個の正の実数 に対し、相加平均 、調和平均 、相乗平均 を定義する。 を証明せよ。」 意欲的な人は、いきなり(2)に取り組んでほしい。 (1)より、常に (等号成立は のとき)が成り立つこと…

「 個の正の実数 がある。これらの平均としては、相加平均 や、調和平均 、相乗平均 などがある。これらの平均を一般化したものとして、一般化平均 が知られている。確かに、 において とすれば相加平均及び調和平均に一致することがわかる。一方、 が相乗平…

「平面 :と点P() との距離は， と表せることを示せ。」 2次元の点と直線の距離の公式を、3次元に拡張した問題。

「 1つのサイコロを 回振り、出た順に数字を小数点以下に並べて実数を作る。例えば、1回目に4、2回目に3が出た場合、0.43となる。こうしてできる小数が、 以下となる確率を と表す。を を用いて表し、 を求めよ。」 考え方のポイントとしては、 が循環小数に…