難問奇問数学自作問題93-ネスビットの不等式と三角不等式-

大学入試 自作問題 奇問 数と式 不等式 平面図形の性質

「三角形ABCにおいて、 { \displaystyle BC=a,CA=b,AB=c}とおく。 このとき、 { \displaystyle f(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}} を定義する。 { \displaystyle \frac{3}{2}\leq f(a,b,c)\lt 2} が成り立つことを示せ。ただし、前問(3)の結果は用いてはならない。」

 

下限は、前問の(3)で { \displaystyle n=3}とした時の式、すなわちネスビットの不等式に一致する。今回は、それとは別の方法で示そう。

  { \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}} 

の両辺に { \displaystyle 2(a+b)(b+c)(c+a)}を掛けて整理すると

{ \displaystyle 2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)\geq 0}

となる。左辺(L.H.)を以下のように3分割して変形していくと、

{ \displaystyle (L.H.)=(a^3+b^3-a^2b-ab^2)+(b^3+c^3-b^2c-bc^2)+(c^3+a^3-c^2a-ca^2)}

{ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \  =(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2\geq 0}

が示される。よって、 { \displaystyle \frac{3}{2}\leq f(a,b,c)} となる(等号成立は正三角形のとき)。

 

次に、上限を示そう。 { \displaystyle a \leq b \leq c}の仮定の下、三角不等式を用いれば、

{ \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\lt \frac{a}{b+a}+\frac{b}{b+a}+\frac{a+b}{a+b}=2}

となる。以上より、 { \displaystyle \frac{3}{2}\leq f(a,b,c)\lt 2} が示せた。