「前問の関数に対し、が成り立つことを示せ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 一個目の不等式は，前問の(2)から明らか。二個目の不等式はおよびが登場する式なので、前問の仮定の式において、と置いたものから出発すればよいことが分かる。…

「を実数とする。関数が、任意の実数と任意の複素数に対し、を満たすとする。このとき、以下を示せ。ただし、「」は複素共役を表す。 (1) (2) 」 仮定の式を満たす関数を定符号関数と呼ぶ。として、具体的な値を代入することで上記の関係式を導出しよう。(2)…

「の全ての解が、絶対値が1を超えるような実数の範囲を図示せよ。」 虚数解の場合も忘れずに議論せよ。答えは、かなり綺麗な図形になる。ちなみに、これは大学で統計や経済で習う”時系列解析”に出てくる、2次の自己回帰モデルの特性方程式に相当する。このモ…

「を実数を用いてと変換する。任意の実数に対してが成り立つとき、をを用いて表せ。」 を時間、を空間座標としたとき、のことを「世界間隔」と呼ぶ。特殊相対性理論では、世界間隔がローレンツ変換の下で不変になるように構成される。ローレンツ変換では、時…

「以下の問いに答えよ。 (1) 2つのについての方程式 と、が同値となるとき、をを用いて表せ。 (2) についての方程式 を解け。」 特殊な4次方程式の解放に関する問題。(1)は(2)の誘導で、因数定理を用いれば の値が決定する。すると、を解けば良い。

「とする。の異なる交点の数を、の値で場合分けして求めよ。」 まともにやると４次関数が出てくるので工夫しよう。両辺の足し算と引き算を計算して式を整理してみよう。 場合分けした後、途中でが得られるが、解と係数の関係を使って考えると容易。

「の異なる交点の数を、の値で場合分けして求めよ。」 代入法で愚直に計算すると4次方程式の解の個数を調べることになり、計算も煩雑になる。奇問でも難問でも無いが、場合分けにしっかり注意してほしい。「実は同じ解になってる！」場合もある。

「三角形ABCにおいて、とおく。 このとき、 を定義する。 が成り立つことを示せ。ただし、前問(3)の結果は用いてはならない。」 下限は、前問の(3)でとした時の式、すなわちネスビットの不等式に一致する。今回は、それとは別の方法で示そう。 の両辺にを掛…

「以下の問いに答えよ。 (1) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。 (2) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。ただし、 とする。 (3) 正の実数 に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。」 意欲のある人は(2)から、あるいは(3)から解い…

「実数が を満たしながら動くとき、の取りうる値の範囲を求めよ。」 対称式 を用いて式を整理することに尽きる。条件式 を用いることで、を のみで表すことができる。 注意点は、の値は自由に取れないということ。が実数になるためには、 に何らかの制約が生…

「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とし、 として により数列を定義する。このとき、 が成り立つことを示せ。また、 が方程式 の解となるとき、 もその式の自然数解になることを示せ。 (2) を自然数とするとき、方程式の自然数解を2つ求めよ。」 ペル方程…

「 を自然数とし、 を満たす有理数 を考える。 となる解が無数に存在することを示せ。」 ヒントは、ピタゴラス数が無数にあることをまず示すこと。すなわち、 は常に を満足するので、 を好きな整数に取ればいくらでもピタゴラス数ができる。この事実を踏ま…

「以下の問いに答えよ。 (1) において、 のグラフの概形を書け。 (2) 個の正の実数 に対し、相加平均 、調和平均 、相乗平均 を定義する。 を証明せよ。」 意欲的な人は、いきなり(2)に取り組んでほしい。 (1)より、常に (等号成立は のとき)が成り立つこと…

「 個の正の実数 がある。これらの平均としては、相加平均 や、調和平均 、相乗平均 などがある。これらの平均を一般化したものとして、一般化平均 が知られている。確かに、 において とすれば相加平均及び調和平均に一致することがわかる。一方、 が相乗平…

「 関数 は を満たす。また、 の値は0より大きい有理数のみをとるとする。このような を求めよ。」 ポイントは、 ① を求めてみようと思うこと ② 因数定理 である。 問題文の式から、 について閉じた方程式を得ることができる。これは3次方程式であり、因数定…