難問奇問数学自作問題121-定符号関数-

大学入試 自作問題 難問 奇問 数と式 複素数平面

「 { \displaystyle x}を実数とする。関数 { \displaystyle f(x)}が、任意の実数 { \displaystyle x_1,x_2}と任意の複素数 { \displaystyle \alpha_1,\alpha_2}に対し、 { \displaystyle \sum_{i=1,j=1}^{2} \alpha_i \alpha_j^* f(x_i-x_j)\geq 0}を満たすとする。このとき、以下を示せ。ただし、「 { \displaystyle ^*}」は複素共役を表す。

(1)  { \displaystyle f(0)\geq 0}

(2)  { \displaystyle f(-x)=f(x)^*}

」

 

 

仮定の式を満たす関数を定符号関数と呼ぶ。 { \displaystyle x_1,x_2,\alpha_1,\alpha_2}として、具体的な値を代入することで上記の関係式を導出しよう。(2)のヒントは、まず { \displaystyle f(x)+f(-x)}が実数になることを示すことである。複素共役であることを示すには、これ以外にもう一つ確認しなければならないことがあるはずだが...