「AさんとBさんが、引き分けがなく勝敗が必ず決まるゲームを行う。Aさんが勝つ確率は、負ける確率はであるとする。初めてAさんが2連勝した時、このゲームを終えるとする。ちょうど回目でゲームが終了する確率を求めよ。」 のままでは確率漸化式が立てにくい…

「問題44に関して、を求めよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com の満たす漸化式を利用する。するとが示せるので、これからに関する漸化式を求めれば良い。 具体的に漸化式はとなる。

「に上向きの矢印があるとする。これをアップスピンと呼ぶことにする。以下、下向きの矢印をダウンスピンと呼ぶ。に、原点から近い順にアップスピンかダウンスピンのいずれかを配置していく。その際、左隣と同じ向きのスピンを、逆向きのスピンをの確率で配…

「ある生物は、0才になった個体は1年後に子供を1匹産み、1才になった個体は1年後に2匹産む。2才になった個体は子供を産むことなく翌年までに死滅するとする。今、ちょうど0才になった個体が1匹いてそれ以外の年齢の個体がいないとき、年後にこの個体は何匹い…

「サイコロを4回ふり、出た目を順にとする。この値を座標にとった点A()と点B()に対し、3点O()、A()、B()を頂点とする三角形が存在する確率を求めよ。」 ノーヒント。難問ではないが思いついたので書いておく。

「１辺の長さが3の正三角形ABCがあり、辺AB、BC、CAを三等分する点を左回りでD、E、F、G、H、Iのようにとる。また、正三角形ABCの重心をOとする。こうしてできた点A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jを移動する虫がいる。この虫は、点Oからスタートし、1秒ごとに…

「正十二面体の各頂点を移動する怪人がいる。怪人は、頂点の一つPからスタートし、1秒ごとに隣り合う頂点に等しい確率で移動する。頂点Pからもっとも離れた頂点をQとし、スタートから秒後に頂点Pに怪盗がいる確率を、頂点Qに怪人がいる確率をとする。をで表…

「サイコロを回投げた目の最大値、最小値の差をとする。の期待値をで表し、の極限を求めよ。」 問題90の追加問題で、ポイントは全く同じ。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 以下、となる確率をとおく。 各確率を求めると、 となる。よって、期…

「サイコロを回投げた目の最大値、最小値の差をとする。となる確率をとおく。が成り立つような を求めよ。」 最大値と最小値の差の分布に関する問題。例えば、 の時は、「1と3が出て、4~6が出ない」確率となる。このままだと求めるのが難しいので、基本的に…

「 平面において、1sごとに上下左右いずれかにそれぞれ等しい確率で1だけ移動する人間がいる。sでこの人は原点にいるとするとき、s後に原点にいる確率を求めよ。」 ポイントは、右に行く回数と上に行く回数を変数でおき、その拘束条件を考えること。定石とし…

「勝ち負けが必ず決まるあるゲームがあるとする。匿名希望のA君は、このゲームをすると、2連敗してしまった後には必ず勝ってしまうという超能力を持っている。一方、イカサマ師で有名なB君は、イカサマを使うことでゲームの勝率が と高くなっている。 すなわ…

「長方形を横に3つの長方形に等分割してできた小部屋を、左からA、B、Cとする。泥酔した宿泊客が、1分ごとに隣の小部屋に移動する、ないし現在の部屋にとどまる選択をするとする。Cの部屋ではお酒が自由に飲めるため、この客はなるべくCから出たくないという…

「正六角形を6つの正三角形に等分割してできた小部屋を、左周りにA、B、C、D、E、Fとする。泥酔した宿泊客が、1分ごとに隣り合う小部屋に移動する、ないし現在の部屋にとどまる選択をするとする。このとき、右隣に移動する確率、左隣に移動する確率、とどま…