難問奇問数学自作問題101-暇な虫-

大学入試 自作問題 難問 奇問 確率 漸化式

「１辺の長さが3の正三角形ABCがあり、辺AB、BC、CAを三等分する点を左回りでD、E、F、G、H、Iのようにとる。また、正三角形ABCの重心をOとする。こうしてできた点A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jを移動する虫がいる。この虫は、点Oからスタートし、1秒ごとに距離1離れた隣点に等しい確率で移動する。スタートから { \displaystyle n}秒後にOに虫がいる確率を { \displaystyle n}を用いて表せ。また、 { \displaystyle n}秒後に虫がOに初めて戻ってくる確率を { \displaystyle n}を用いて表せ。」

 

 

確率漸化式の問題。解だけまとめておこう。

  { \displaystyle n}秒後にOに虫がいる確率は

        { \displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n}

  { \displaystyle n}秒後に初めてOに戻ってくる確率は

        { \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10}\frac{(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}}{4^{n-1}}}

となる。