難問奇問数学自作問題83-腰巾着の通過する領域-

大学入試 自作問題 難問 奇問 空間図形 積分 領域

「以下の問いに答えよ。

(1) { \displaystyle xy}平面に半径1、中心を原点Oとする円がある。円周上の動点Pを中心にもつ1辺が1の正方形ABCDを、ABとCDが { \displaystyle y}軸に平行、BCとDAが { \displaystyle x}軸と平行になるように作る。動点Pを動かすとき、正方形ABCDの通過する領域の面積を求めよ。

(2) { \displaystyle xyz}空間に半径1、中心を原点Oとする球がある。球面上の動点Qを中心にもつ1辺が1の正方形ABCDを、ABとCDが { \displaystyle z}軸に平行となり、面ABCDを延長してでできる平面に直線OQが来るように作る。動点Qを動かすとき、正方形ABCDの通過する領域の体積を求めよ。」

 

 　(2)のポイントは、(1)の結果の回転体を考えることである。ただ、積分の計算がかなりしんどいので注意したい。