難問奇問数学自作問題79-おいらの公式-

大学入試 自作問題 難問 奇問 複素数平面 数列

「一辺が1の正 { \displaystyle n} 多角形 { \displaystyle P_1P_2...P_n} が  { \displaystyle xy} 平面上にある。 { \displaystyle (1,0)}に { \displaystyle P_1}、正多角形の中心が原点に来るようにして、各頂点を左回りに取るとする。 このとき、 { \displaystyle \angle{P_k OP_1}=\theta_k \ (k=1,2,..n)} を定義する。 { \displaystyle (sin \theta_1)^3+(sin \theta_2)^3+...+(sin \theta_n)^3}、 { \displaystyle (cos \theta_1)^3+(cos \theta_2)^3+...+(cos \theta_n)^3} を求めよ。」

 

まず、3倍角の公式を用いて式を整理しよう。 次に、オイラーの公式 { \displaystyle e^{i\theta}=cos \theta +i sin \theta} を用いて指数表示にし、等比数列の和の公式を用いて和を取れば良い。sinは虚部になっていることから、答えを得る。